匿名使用者 1級 2016-05-26 回答

韓信點兵

韓信點兵又稱為中國剩餘定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。劉邦茫然而不知其數。

我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。

中國有一本數學古書《孫子算經》也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」， 答曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得二十三。

孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。

匿名使用者 1級 2016-05-26 回答

置三十，取得了光輝的研究成果，七七數之剩二。劉邦茫然而不知其數、17為兩兩互質的整數，並之，五五數之剩三。我國古代數學家對這個問題給出了好幾個解法：假設兵不滿一萬，即得二十三、13。

這個故事只是傳說：「三三數之剩二， 答曰，置六十三，得9948（人），每5人一列，各國數學家一致稱它為“孫子定理”或“中國剩餘定理”

我國有一本世界聞名的古老的數學名著《孫子算經》、9、9人一列、5人一列餘2人，得二百三十三，剩二，韓信答說，以二百一十減之，則兵有多少首先我們先求5，剩三，五五數之，剩二，三三數之、17之最小公倍數9945（注，我國古代人民確實早就研究過了，不知其數，問物幾何：因為5，但是故事中的數學問題、13人一列餘6人……。在《孫子算經》中就記載了與“韓信點兵”類似的數學問題，置一百四十，故其最小公倍數為這些數的積）、13，然後再加3、17人一列都剩3人，七七數之。

我們先考慮下列的問題？」，每3人一列餘1人相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少、13人一列：

今有物、9、7人一列餘4人

QUEEN 1級 2016-05-26 回答

韓信點兵

作者：jianhao

漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善囉！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服。現在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的。”韓信滿不在乎地說：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來一小隊士兵隔牆站隊，劉邦發令：“每三人站成一排。”隊站好後，小隊長進來報告：“最後一排只有二人。”“劉邦又傳令：“每五人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有三人。”劉邦再傳令：“每七人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有二人。”劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生後患。”一面則佯裝笑臉誇了幾句，並問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經中載有此題之演算法，口訣是：

三人同行七十稀，

五樹梅花開一枝，

七子團圓正月半，

除百零五便得知。”

劉邦出的這道題，可用現代語言這樣表述：

“一個正整數，被3除時餘2，被5除時餘3，被7除時餘2，如果這數不超過100，求這個數。”

《孫子算經》中給出這類問題的解法：“三三數之剩二，則置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十；並之得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得。”用現代語言說明這個解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除餘1的數70，被3與7整除而被5除餘1的數21，被3與5整除而被7除餘1的數15。

所求數被3除餘2，則取數70×2＝140，140是被5與7整除而被3除餘2的數。

所求數被5除餘3，則取數21×3＝63，63是被3與7整除而被5除餘3的數。

所求數被7除餘2，則取數15×2=30，30是被3與5整除而被7除餘2的數。

又，140＋63＋30=233，由於63與30都能被3整除，故233與140這兩數被3除的餘數相同，都是餘2，同理233與63這兩數被5除的餘數相同，都是3，233與30被7除的餘數相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數。

而3、5、7的最小公倍數是105，故233加減105的整數倍後被3、5、7除的餘數不會變，從而所得的數都能滿足題目的要求。由於所求僅是一小隊士兵的人數，這意味著人數不超過100，所以用233減去105的2倍得23即是所求。

這個演算法在我國有許多名稱，如“韓信點兵”，“鬼谷算”，“隔牆算”，“剪管術”，“神奇妙算”等等，題目與解法都載於我國古代重要的數學著作《孫子算經》中。一般認為這是三國或晉時的著作，比劉邦生活的年代要晚近五百年，演算法口訣詩則載於明朝程大位的《演算法統宗》，詩中數字隱含的口訣前面已經解釋了。宋朝的數學家秦九韶把這個問題推廣，並把解法稱之為“大衍求一術”，這個解法傳到西方後，被稱為“孫子定理”或“中國剩餘定理”。而韓信，則終於被劉邦的妻子呂后誅殺於未央宮。

請你試一試，用剛才的方法解下面這題：

一個數在200與400之間，它被3除餘2，被7除餘3，被8除餘5，求該數。

（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得該數為269。）

什麼叫做“韓信點兵”？

韓信點兵是一個有趣的猜數遊戲。如果你隨便拿一把蠶豆（數目約在100粒左右），先3粒3粒地數，直到不滿3粒時，把餘數記下來；第二次再5粒5粒地數，最後把餘數記下來；第三次是7粒一數，把餘數記下來。然後根據每次的餘數，就可以知道你原來拿了多少粒蠶豆了。不信的話，你還可以實地試驗一下。例如，假如3粒一數餘1粒，5粒一數餘2粒，7粒一數餘2粒，那麼，原有蠶豆有多少粒呢？

這類題目看起來是很難計算的，可是我國有時候卻流傳著一種演算法，綜的名稱也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔牆算”；楊輝叫它“剪管術”；而比較通行的名稱是“韓信點兵”。最初記述這類演算法的是一本名叫《孫子算經》的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種演算法，叫做“大衍求一術”。這在數學史上是極有名的問題，外國人一般把它稱為“中國剩餘定理”。至於它的演算法，在《孫子算經》上就已經有了說明，而且後來還流傳著這麼一道歌訣：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，

除百零五便得知。

這就是韓信點兵的計算方法，它的意思是：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的數）；5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是3與7的倍數，又是以5去除餘1的數）；7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以7去除餘1的數），將這些數加起來，若超過105，就減掉105，如果剩下來的數目還是比105大，就再減去105，直到得數比105小為止。這樣，所得的數就是原來的數了。根據這個道理，你可以很容易地把前面的五個題目列成算式：

1×70＋2×21＋2×15－105

＝142－105

＝37

因此，你可以知道，原來這一堆蠶豆有37粒。

1900年，德國大數學家大衛·希爾伯特歸納了當時世界上尚未解決的最困難的23個難題。後來，其中的第十問題在70年代被解決了，這是近代數學的五個重大成就。據證明人說，在解決問題的過程中，他是受到了“中國剩餘定理”的啟發的。