匿名使用者 1級 2011-09-29 回答

幻方最早記載於我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3－10階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳演算法》一書中。在歐洲，直到574年，德國著名畫家丟功才繪製出了完整的4階幻方。

數學上已經證明，對於n>2，n階幻方都存在。目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。

1、奇數階幻方

n為奇數 （n=3，5，7，9，11……） （n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……）

奇數階幻方最經典的填法是羅伯特法（也有人稱之為樓梯法）。填寫方法是這樣：

把1（或最小的數）放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n×n-1個數：

（1）每一個數放在前一個數的右上一格；

（2）如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行，仍然要放在右一列；

（3）如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

（4）如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列，那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內；

（5）如果這個數所要放的格已經有數填入，處理方法同（4）。

這種寫法總是先向“右上”的方向，象是在爬樓梯。

2、雙偶階幻方

n為偶數，且能被4整除 （n=4，8，12，16，20……） （n=4k，k=1，2，3，4，5……）

先說明一個定義。互補：如果兩個數字的和，等於幻方最大數和最小數的和，即 n*n+1，稱為互補。

先看看4階幻方的填法：將數字從左到右、從上到下按順序填寫：

這個方陣的對角線，已經用顏色標出。將對角線上的數字，換成與它互補（同色）的數字。

這裡，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完後就是一個四階幻方。

對於n=4k階幻方，我們先把數字按順序填寫。寫好後，按4*4把它劃分成k*k個方陣。因為n是4的倍數，一定能用4*4的小方陣分割。然後把每個小方陣的對角線，象製作4階幻方的方法一樣，對角線上的數字換成互補的數字，就構成幻方。

3、單偶階幻方

n為偶數，且不能被4整除 （n=6，10，14，18，22……） （n=4k+2，k=1，2，3，4，5……）

這是三種裡面最複雜的幻方。

以n=10為例。這時，k=2

（1） 把方陣分為A，B，C，D四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數階。用樓梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數階幻方的填法填數。

（2） 在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。A象限的其它行則標出最左邊的k格。將這些格，和C象限相對位置上的數，互換位置。

（3） 在B象限任一行的中間格，自右向左，標出k-1列。（注：6階幻方由於k-1=0，所以不用再作B、D象限的資料交換），將B象限標出的這些數，和D象限相對位置上的數進行交換，就形成幻方。

看起來很麻煩，其實掌握了方法就很簡單了。

踮起腳尖、親你 1級 2011-09-30 回答

一、merzirac法生成奇階幻方

在第一行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向下移一格繼續填寫。如下圖用merziral法生成的5階幻方：

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

merzirac法，有人也叫樓梯法，我管它叫斜步法，即走x+y斜步（數字按右上方順序填入），-y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向下移一格繼續填寫）。

其實斜步法可以向4個方向依次填寫數字，即右上、右下、左上、左下4個方向，每種斜步都可有2種跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。

對於x+y斜步相應的跳步可以為-x，-y。 【記住，跳步是x+y斜步的x（或y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就為向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就為向右（或向上）一步；等等等等】

二、loubere法生成奇階幻方

在居中的方格向上一格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向上移兩格繼續填寫。如下圖用louberel法生成的5階幻方：

23 6 19 2 15

10 18 1 14 22

17 5 13 21 9

4 12 25 8 16

11 24 7 20 3

上述loubere法可以記作x+y斜步（數字按右上方順序填入），2y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向上移二格繼續填寫）。對於x+y斜步相應的跳步可以為2x，2y。 【記住，跳步是x+y斜步的x（或y）相同方向即可。】

2y跳步，則在居中的方格向上一格放1裡，按上斜步，2y跳步的方法構成幻方。

-2y跳步，則在居中的方格向下一格放1裡，按下斜步，-2y跳步的方法構成幻方。

2x跳步，則在居中的方格向右一格放1裡，按右斜步，2x跳步的方法構成幻方。

-2x跳步，則在居中的方格向左一格放1裡，按左斜步，-2x跳步的方法構成幻方。

三、horse法生成奇階幻方

對於所有的奇階幻方，在第一行居中的方格內放1，向左走1步，下走2步以跳馬步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，把該數字填到本該填數所在列上方相應的格；若出到方陣右方，把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格；如果落步格已有數字， 則向下移一格繼續填寫。如下圖用horse法生成的5階幻方：

23 12 1 20 9

4 18 7 21 15

10 24 13 2 16

11 5 19 8 22

17 6 25 14 3

n階奇階幻方，若n為不是3的倍數，那麼在任意一格內放1，向左走1步，下走2步以跳馬步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，把該數字填到本該填數所在列上方相應的格；若出到方陣右方，把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格；如果落步格已有數字， 則向上移一格繼續填寫。如下圖用horse法生成的5階幻方：

1 14 22 10 18

25 8 16 4 12

19 2 15 23 6

13 21 9 17 5

7 20 3 11 24