我的寵物叫鹹菜 2011-10-07

數學論文

一、數學技能的含義及作用

技能是順利完成某種任務的一種動作或心智活動方式。它是一種接近自動化的、複雜而較為完善的動作系統，是透過有目的、有計劃的練習而形成的。數學技能是順利完成某種數學任務的動作或心智活動方式。它通常表現為完成某一數學任務時所必需的一系列動作的協調和活動方式的自動化。這種協調的動作和自動化的活動方式是在已有數學知識經驗基礎上經過反覆練習而形成的。如學習有關乘數是兩位數的乘法計算技能，就是在掌握其運演算法則的基礎上透過多次的實際計算而形成的。數學技能與數學知識和數學能力既有密切的聯絡，又有本質上的區別。它們的區別主要表現為：技能是對動作和動作方式的概括，它反映的是動作本身和活動方式的熟練程度；知識是對經驗的概括，它反映的是人們對事物和事物之間相互聯絡的規律性的認識；能力是對保證活動順利完成的某些穩定的心理特徵的概括，它所體現的是學習者在數學學習活動中反映出來的個體特徵。三者之間的聯絡，可以比較清楚地從數學技能的作用中反映出來。

數學技能在數學學習中的作用可概括為以下幾個方面：

第一，數學技能的形成有助於數學知識的理解和掌握；

第二，數學技能的形成可以進一步鞏固數學知識；

第三，數學技能的形成有助於數學問題的解決；

第四，數學技能的形成可以促進數學能力的發展；

第五，數學技能的形成有助於激發學生的學習興趣；

第六，調動他們的學習積極性。

二、數學技能的分類

小學生的數學技能，按照其本身的性質和特點，可以分為操作技能（又叫做動作技能）和心智技能（也叫做智力技能）兩種型別。

l．數學操作技能。操作技能是指實現數學任務活動方式的動作主要是透過外部機體運動或操作去完成的技能。它是一種由各個區域性動作按照一定的程式連貫而成的外部操作活動方式。如學生在利用測量工具測量角的度數、測量物體的長度，用作圖工具畫幾何圖形等活動中所形成的技能就是這種外部操作技能。操作技能具有有別於心智技能的一些比較明顯的特點：一是外顯性，即操作技能是一種外顯的活動方式；二是客觀性，是指操作技能活動的物件是物質性的客體或肌肉；王是非簡約性，就動作的結構而言，操作技能的每個動作都必須實施，不能省略和合並，是一種展開性的活動程式。如用圓規畫圓，確定半徑、確定圓心、圓規一腳繞圓心旋轉一週等步驟，既不能省略也不能合併，必須詳盡地展開才能完成的任務。

2．數學心智技能。數學心智技能是指順利完成數學任務的心智活動方式。它是一種藉助於內部言語進行的認知活動，包括感知、記憶、思維和想象等心理成分，並且以思維為其主要活動成分。如小學生在口算、筆算、解方程和解答應用題等活動中形成的技能更多地是一些數學心智技能。數學心智技能同樣是經過後天的學習和訓練而形成的，它不同於人的本能。另外，數學心智技能是一種合乎法則的心智活動方式，“所謂合乎法則的活動方式是指活動的動作構成要素及其次序應體現活動本身的客觀法則的要求，而不是任意的”。這些特性，反映了數學心智技能和數學操作技能的共性。數學心智技能作為一種以思維為主要活動成分的認知活動方式，它也有著區別於數學操作技能的個性特徵，這些特徵主要反映在以下三個方面。

第一，動作物件的觀念性。數學心智技能的直接物件不是具有物質形式的客體本身，而是這種客體在人們頭腦裡的主觀映象。如20以內退位減法的口算，其心智活動的直接物件是“想加法算減法”或其他計算方法的觀念，而非某種物質化的客體。

第二，動作實施過程的內隱性。數學心智技能的動作是藉助內部言語完成的，其動作的執行是在頭腦內部進行的，主體的變化具有很強的內隱性，很難從外部直接觀測到。如口算，我們能夠直接瞭解到的是透過學生的外部語言所反映出來的計算結果，學生計算時的內部心智活動動作是無法看到的。

第三，動作結構的簡縮性。數學心智技能的動作不像操作活動那樣必須把每一個動作都完整地做出來，也不像外部言語那樣對每一個動作都完整地說出來，它的活動過程是一種高度壓縮和簡化的自動化過程。因此，數學心智技能中的動作成分是可以合併、省略和簡化的。如20以內進位加法的口算，學生熟練以後計算時根本沒有去意識“看大數”、“想湊數”、“分小數”、“湊十”等動作，整個計算過程被壓縮成一種脫口而出的簡略性過程。

三、數學技能的形成過程

1．數學操作技能的形成過程。

數學操作技能作為一種外顯的操作活動方式，它的形成大致要經過以下四個基本階段。

（1）動作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學習者在頭腦裡建立起完成某項數學任務的操作活動的定向映象。包括明確學習目標，激起學習動機，瞭解與數學技能有關的知識，知道技能的操作程式和動作要領以及活動的最後結果等內容。概括起來講，這一階段主要是瞭解“做什麼”和“怎樣做”兩方面的內容。如畫角，這一階段主要是瞭解需畫一個多少度的角（即知道做什麼）和畫角的步驟（即怎麼做），以此給畫角的操作活動作出具體的定向。動作定向的作用是在頭腦裡初步建立起操作的自我調節機制；透過對“做什麼”和“怎麼做”的瞭解而明確實施數學活動的程式與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動作的活動方式。

（2）動作的分解階段。這是操作技能進入實際學習的最初階段，其作法是把某項數學技能的全套動作分解成若干個單項動作，在老師的示範下學生依次模仿練習，從而掌握區域性動作的活動方式。如用圓規按照給定的半徑畫圓，在這一階段就可把整個操作程式分解成三個區域性動作：①把圓規的兩腳張開，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉一週，畫出圓。透過對這三個具有連續性的區域性動作的依次練習，即可掌握畫圓的要領。學生在這一階段學習的方式主要是模仿，一方面根據老師的示範進行模仿；另一方面也可以根據有關操作規則的文字描述進行模仿，如根據幾何作圖規則對各個動作活動方式的表述進行模仿。模仿不一定都是被動的和機械的，“模仿可以是有意的和無意的；可以是再造性的，也可以是創造性的。”②模仿是數學操作技能形成的一個不可缺少的條件。

（3）動作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個區域性動作按照一定的順序連線起來，使其形成一個連貫而協調的操作程式，並固定下來。如畫圓，在這一階段就可將三個步驟綜合起來形成一體化的作業系統。這時由於區域性動作之間尚處在銜接階段，所以動作還難以維持穩定性和精確性，動作系統中的某些環節在銜接時甚至還會出現停頓現象。不過，總的來講這一階段動作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過程中的多餘動作也明顯減少，已形成完整而有序的動作系統。

（4）動作的熟練階段。這是操作技能形成的最後階段，在這一階段透過練習而形成的數學活動方式能適應各種變化情況，其操作表現出高度完善化的特點。動作之間相互干擾和不協調的現象完全消除，動作具有高度的正確性和穩定性，並且不管在什麼條件下全套動作都能流暢地完成。如這時的畫圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動作，並且能充分保證其正確性。上述分析表明，數學操作技能的形成要經過“定向→分解→整合→熟練”的發展過程。在這一過程中每一個發展階段都有自己的任務：定向階段的主要任務是掌握操作的結構系統和每一個步驟操作的要領；分解階段的主要任務是對活動的操作系列進行分解，並逐一模仿練習；整合階段的主要任務是在動作之間建立聯絡，使活動協調一體化；熟練階段的任務則主要是使整個操作過程高度完善化和自動化。

2．數學心智技能的形成過程。

關於數學心智技能形成過程的研究，人們比較普遍地採用了原蘇聯心理學家加里培林的研究成果。加里培林認為，心智活動是一個從外部的物質活動到內部心智活動的轉化過程，既內化的過程。據此，在這裡我們把小學生數學心智技能的形成過程概括為以下四個階段。

（1）活動的認知階段。這是數學心智活動的認知準備階段，主要是讓學生了解並記住與活動任務有關的知識，明確活動的過程和結果，在頭腦裡形成活動本身及其結果的表象。如學習除數是小數的除法計算技能，在這一步就是讓學生回憶並記住除法商不變性質和除數是整數的小數除法法則等知識，在此基礎上明確計算的程式和每一步計算的具體方法，以此在頭腦裡形成除數是小數除法計算過程的表象。認知階段實際上也是一種心智活動的定向階段，透過這一階段，學習者可以建立起進行數學心智活動的初步自我調節機制，為後面順利進行認知活動提供內部控制條件。這一階段的主要任務是在頭腦裡確定心智技能的活動程式，並讓這種程式的動作結構在頭腦裡得到清晰的反映。

（2）示範模仿階段。這是數學心智活動方式進入具體執行過程的開始，這一階段學生把在頭腦裡已初步建立起來的活動程式計劃以外顯的操作方式付諸執行。不過，這種執行通常是在老師指導示範下進行的，老師的示範通常是採用語言指導和操作提示相結合的方式進行的，即在言語指導的同時呈現活動過程中的某些步驟。如計算乘數是兩位數的乘法時，一方面根據運演算法則指導運算步驟；另一方面在表述運算規定的同時重點示範用乘數十位上的數去乘被乘數所得的部分積的對位，以此讓學生在老師的幫助、指導下順利地掌握兩位數乘多位數計算的活動方式。在這一階段，學生活動的執行水平還比較低，通常停留在物質活動和物質化活動的水平上。“所謂物質活動是指動作的客體是實際事物，所謂物質化活動是指活動不是藉助於實際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學具，乃至圖畫、圖解、言語等進行的”。③如解答覆合應用題，在這一步學生通常就是藉助線段圖進行分析題中數量關係的智力活動的。

（3）有意識的言語階段。這一階段的智力活動離開了活動的物質和物質化的客體而逐步轉向頭腦內部，學生透過自己的言語指導而進行智力活動，通常表現為一邊操作一邊口中唸唸有詞。如兩位數加兩位數的筆算，在這一步學生往往是一邊計算，口中一邊念：相同數位對位，從個位加起，個位滿十向十位進1。很明顯，這時的計算過程是伴隨著對法則運算規定的複述進行的。在這一階段，學生出聲的外部言語活動還會逐步向不出聲的外部言語活動過渡，如兩位數加兩位數的筆算，在本階段的後期學生往往是透過默想法則規定的運算步驟進行計算的。這一活動水平的出現，標誌著學生的活動已開始向智力活動水平轉化。

（4）無意識的內部言語階段。這是數學心智技能形成的最後的一個階段，在這一階段學生的智力活動過程有了高度的壓縮和簡化，整個活動過程達到了完全自動化的水平，無需去注意活動的操作規則就能比較流暢地完成其操作程式。如用簡便方法計算45＋99×99＋54，在這一階段學生無需去回憶加法交換律和結合律、乘法分配律等運算定律，就能直接先合併45和54兩個加數，然後利用乘法分配律進行計算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個計算過程完全是一種流暢的自動化演算過程。在這一階段，學生的活動完全是根據自己的內部言語進行思考的，並且總是用非常簡縮的形式進行思考的，活動的中間過程往往簡約得連自己也察覺不到了，整個活動過程基本上是一種自動化的過程。

四、數學技能的學習方法

1．數學操作技能的學習方法。學習數學操作技能的基本方法是模仿練習法和程式練習法。前者是指學生在學習中根據老師的示範動作或教材中的示意圖進行模仿練習，以掌握操作的基本要領，在頭腦裡形成操作過程的動作表象的一種學習方法。用工具度量角的大小、測量物體的長短、幾何圖形的作圖、幾何圖形面積和體積計算公式推導過程中的圖形轉化等技能一般都可以透過模仿練習法去掌握。如推導平行四邊形面積計算公式時，把平行四邊形轉化成長方形的操作技能就可模仿（人教版）教材插圖（如圖所示）的操作過程去練習和掌握。小學生的學習更多的是模仿老師的示範動作，所以老師的示範對小學生數學動作技能的形成尤為重要。教師要充分運用示範與講解相結合、整體示範與分步示範相結合等措施，讓學生準確無誤地掌握操作要領，形成正確的動作表象。所謂程式練習法，就是運用程式教學的原理將所要學習的數學動作技能按活動程式分解成若干區域性的動作先逐一練習，最後將這些區域性的動作綜合成整體形成程式化的活動過程。如用量角器量角的度數、用三角板畫垂線和平行線、畫長方形等技能的學習都可以採用這種方法。用這種方法學習數學動作技能，分解動作時注意突出重點，重點解決那些難以掌握的區域性動作，這樣可以有效地提高學習效率。

2．數學心智技能的學習方法。學生的心智技能主要是透過範例學習法和嘗試學習法去獲得的。範例學習法是指學習時按照課本提供的範例，將數學技能的思維操作程式一步一步地展現出來，然後根據這種程式逐步掌握技能的心智活動方式。整數、小數、分數的四則計算，課本幾乎都提供了計算的範例，學習時只需要根據範例有序地進行計算即可掌握計算方法。如被除數和除數末尾都有0的除法的簡便演算法，課本安排瞭如下範例，學習時只需要明確範例所反映的計算程式和方法，並按照這種程式和方法進行計算即可掌握被除數和除數末尾都有0的除法簡便計算的技能。嘗試學習法是指在學習中主要由學生自己去嘗試探索問題解決的方法和途徑，並在不斷修正錯誤的過程中找出解決問題的操作程式，進而獲得數學技能。這是一種探究式的發現學習法，總結運算規律和性質並運用它們進行簡便計算、解答覆合應用題、求某些比較複雜的組合圖形的面積或體積等技能都可以運用這種學習方法去掌握。這種方法較多地運用於題目本身具有較強探究性的變式問題解決的學習，如用簡便方法計算1001÷12。5，由於學生在前面已經掌握除法商不變性質，練習時就可透過將除數和被除數部乘以8使除數變成100的途徑去實現計算的簡便。嘗試學習法雖然有利於培養學生的探索精神和解決問題的能力，但耗時太多，學習時最好是將它和範例學習法結合起來，兩種學習方法互為補充，這樣數學技能的學習就會更加富有成效 回答者： 熱心網友 | 2011-5-3 18：34

數學小論文

關於“0”

0，可以說是人類最早接觸的數了。我們祖先開始只認識沒有和有，其中的沒有便是0了，那麼0是不是沒有呢？記得小學裡老師曾經說過“任何數減去它本身即等於0，0就表示沒有數量。”這樣說顯然是不正確的。我們都知道，溫度計上的0攝氏度表示水的冰點（即一個標準大氣壓下的冰水混合物的溫度），其中的0便是水的固態和液態的區分點。而且在漢字裡，0作為零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小數目的。2）不夠一定單位的數量……至此，我們知道了“沒有數量是0，但0不僅僅表示沒有數量，還表示固態和液態水的區分點等等。”

“任何數除以0即為沒有意義。”這是小學至中學老師仍在說的一句關於0的“定論”，當時的除法（小學時）就是將一份分成若干份，求每份有多少。一個整體無法分成0份，即“沒有意義”。後來我才瞭解到a/0中的0可以表示以零為極限的變數（一個變數在變化過程中其絕對值永遠小於任意小的已定正數），應等於無窮大（一個變數在變化過程中其絕對值永遠大於任意大的已定正數）。從中得到關於0的又一個定理“以零為極限的變數，叫做無窮小”。

“105、203房間、2003年”中，雖都有0的出現，粗“看”差不多；彼此意思卻不同。105、2003年中的0指數的空位，不可刪去。203房間中的0是分隔“樓（2）”與“房門號（3）”的（即表示二樓八號房），可刪去。0還表示……

愛因斯坦曾說：“要探究一個人或者一切生物存在的意義和目的，宏觀上看來，我始終認為是荒唐的。”我想研究一切“存在”的數字，不如先了解0這個“不存在”的數，不至於成為愛因斯坦說的“荒唐”的人。作為一箇中學生，我的能力畢竟是有限的，對0的認識還不夠透徹，今後望（包括行動）能在“知識的海洋”中發現“我的新大陸”。

回答者： rxlrhga | 一級 | 2011-5-13 18：15

數學小論文

關於“0”

0，可以說是人類最早接觸的數了。我們祖先開始只認識沒有和有，其中的沒有便是0了，那麼0是不是沒有呢？記得小學裡老師曾經說過“任何數減去它本身即等於0，0就表示沒有數量。”這樣說顯然是不正確的。我們都知道，溫度計上的0攝氏度表示水的冰點（即一個標準大氣壓下的冰水混合物的溫度），其中的0便是水的固態和液態的區分點。而且在漢字裡，0作為零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小數目的。2）不夠一定單位的數量……至此，我們知道了“沒有數量是0，但0不僅僅表示沒有數量，還表示固態和液態水的區分點等等。”

“任何數除以0即為沒有意義。”這是小學至中學老師仍在說的一句關於0的“定論”，當時的除法（小學時）就是將一份分成若干份，求每份有多少。一個整體無法分成0份，即“沒有意義”。後來我才瞭解到a/0中的0可以表示以零為極限的變數（一個變數在變化過程中其絕對值永遠小於任意小的已定正數），應等於無窮大（一個變數在變化過程中其絕對值永遠大於任意大的已定正數）。從中得到關於0的又一個定理“以零為極限的變數，叫做無窮小”。

“105、203房間、2003年”中，雖都有0的出現，粗“看”差不多；彼此意思卻不同。105、2003年中的0指數的空位，不可刪去。203房間中的0是分隔“樓（2）”與“房門號（3）”的（即表示二樓八號房），可刪去。0還表示……

愛因斯坦曾說：“要探究一個人或者一切生物存在的意義和目的，宏觀上看來，我始終認為是荒唐的。”我想研究一切“存在”的數字，不如先了解0這個“不存在”的數，不至於成為愛因斯坦說的“荒唐”的人。作為一箇中學生，我的能力畢竟是有限的，對0的認識還不夠透徹，今後望（包括行動）能在“知識的海洋”中發現“我的新大陸”。