功學林富曉 2019-08-08

三角形的重心是各中線的交點，重心定理是說三角形頂點到重心的距離等於該頂點對邊上中線長的2/3

利用三角形的相似性可以很快得到證明。

△ABC，AB、BC、CA中點分別為D、E、F，交於一點G。

∴DF//BC，DF=BC/2

①（中位線定理）。

∴△ADF∽△ABC，

E為BC中點，∴H為DF中點（可證AH/AE=DH/BE=HF/EC，

BE=EC，

∴DH=HF）

∴HF=DF/2

，

BE=BC/2，

又可由①知HF=BE/2

∴HF//BE。

又∵∠BGE=∠FGH。

∴△BGE∽△FGH

∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF

同樣，利用公邊定理及三角形的等高可輕易求得三條中線分得的六個三角形面積相等，透過面積亦可證明。

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牢音沐瓊 2019-10-25

重心是三角形三邊中線的交點

重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均

三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

銳角三角形垂心在三角形內部。

直角三角形垂心在三角形直角頂點。

鈍角三角形垂心在三角形外部。

內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。

內心到三邊距離相等（為內切圓半徑）

若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為（l1/p，l2/p，l3/p）。

直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

到外心到三角形的三個頂點距離相等