匿名使用者 1級 2011-01-16 回答

設角F1F2P=α F2F1P=β F1PF2=θ 則有離心率e=sin（α+β）/sinα + sinβ 焦點三角形面積S=b^2*tan（θ/2）

證明方法一：

設F1P=c F2P=b 2a=c+b 由射影定理得2c=ccosβ+bcosα e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα/c+b 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/sinβ+sinα=sin（α+β）/sinα + sinβ

證明方法二：

對於焦點△F1PF2，設PF1=m，PF2=n 則m+n=2a 在△F1PF2中，由余弦定理： （F1F2）^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ） 所以mn（1+cosθ）=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/（1+cosθ） S=（mnsinθ）/2…………。（正弦定理的三角形面積公式） =b^2*sinθ/（1+cosθ） =b^2*［2sin（θ/2）cos（θ/2）］/2［cos（θ/2）］^2 =b^2*sin（θ/2）/cos（θ/2） =b^2*tan（θ/2）

雙曲線焦點三角形面積公式

若∠F1PF2=θ， 則S△F1PF2=b^2；·cot（θ/2） ·例：已知F1、F2為雙曲線C：x^2；-y^；=1的左右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為多 少？ 解：由雙曲線焦點三角形面積公式得S△F1PF2=b^2；·cot（θ/2）=1×cot30°， 設P到x軸的距離為h，則S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2

貧困戶 1級 2011-01-17 回答

解：橢圓方程x²/4+y²/3=1，c²=a²-b²=4-3=1，∴c=1，即橢圓兩焦點座標為：f1（-1，0），f2（1，0）；

設p（-x-1，y），∵∠pf1f2=120°，∴y=（√3）x【可過p向x軸作垂線，pa⊥x於a，則△paf1是rt△，∠paf1=90°，∠pf1a=180°-∠pf1f2=60°，解△paf1即得到y=（√3）x】，p在橢圓上，代入有：（-x-1）²/4+［（√3）x］²/3=1，解之：x=0。6〖欲滿足△paf1，故x=-1根據要求捨去〗，即p（-1。6，±0。6×√3）。

f1f2=2c=2，pa=y=（3√3）/5，s△pf1f2=0。5×f1f2×pa=0。5×2×（3√3）/5=（3√3）/5≈1。03923