對一個已經給好所有數值的矩陣,如何快速求特徵值?

作者：由匿名使用者發表于攝影
2022-10-04

鈺瀟 2019-07-08

對於n×n方陣A，令f（λ）=|λI-A|（I為n階單位陣）則使得f（λ）=0的根即為矩陣A對應的特徵值。

從特徵值的定義式子可以看出特徵值的求解過程就是解一元n次方程的過程。根據伽羅瓦理論知道五次以及五次以上方程是沒有解公式的，因此一般題目都是會有幾個能一眼看出的解然後利用高等代數多項式理論降次即可求解。

線性代數或者高等代數中矩陣特徵值的求法都是固定的，需要注意的一點是狹義條件下下僅僅是方陣（行數等於列數）才有特徵值的概念，如果是廣義情況下最好檢視研究生課程矩陣論內容。另外一般意義下的特徵值求解是在複數域內求解，如果題目指定在規定數域內求解則按照題目要求。

擴充套件資料：

如將特徵值的取值擴充套件到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以透過求解方程（A-λB）ν=0，得到det（A-λB）=0（其中det即行列式）構成形如A-λB的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項。

若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定。反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

參考資料：百度百科-特徵值

麵包愛看劇 2019-07-08

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：首先計算的特徵多項式，求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值，對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則屬於特徵值的全部特徵向量。

求特徵向量：設A為n階矩陣，根據關係式Ax=λx，可寫出（λE-A）x=0，繼而寫出特徵多項式|λE-A|=0，可求出矩陣A有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程（λiE-A）x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

擴充套件資料

判斷相似矩陣的必要條件

設有n階矩陣A和B，若A和B相似（A∽B），則有：

1、A的特徵值與B的特徵值相同——λ（A）=λ（B），特別地，λ（A）=λ（Λ），Λ為A的對角矩陣。

2、A的特徵多項式與B的特徵多項式相同——|λE-A|=|λE-B|。

3、A的跡等於B的跡——trA=trB，其中i=1，2，…n（即主對角線上元素的和）。

4、A的行列式值等於B的行列式值——|A|=|B|。

5、A的秩等於B的秩——r（A）=r（B）。

因而A與B的特徵值是否相同是判斷A與B是否相似的根本依據。

矩陣可對角化有兩個充要條件：

1、矩陣有n個不同的特徵向量。

2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件，則需要出現二重以上的重特徵值可驗證（一重相當於沒有重根）。

參考資料來源

：百度百科—特徵值

的大嚇是我推薦於2017-10-13

線性代數或者高等代數中矩陣特徵值的求法都是固定的，需要注意的一點是狹義條件下下僅僅是方陣（行數等於列數）才有特徵值的概念，如果是廣義情況下建議檢視研究生課程矩陣論內容。另外一般意義下的特徵值求解是在複數域內求解，如果題目指定在規定數域內求解則按照題目要求。

對於n×n方陣A，令f（λ）=|λI-A|（I為n階單位陣）則使得f（λ）=0的根即為矩陣A對應的特徵值。

從特徵值的定義式子可以看出特徵值的求解過程就是解一元n次方程的過程。根據伽羅瓦理論知道五次以及五次以上方程是沒有解公式的，因此一般題目都是會有幾個能一眼看出的解然後利用高等代數多項式理論降次即可求解。所以特徵值的求解是沒有捷徑的，只能腳踏實地一步步計算而且要保證細心，否則矩陣的一個正負號搞錯就很容易把計算變得很麻煩的。