匿名使用者2020.11.20 回答

給你看一下！！

不知道怎麼樣，有沒有你要的東西？

一． 定義

因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯絡，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型：

設有二次型 ，如果對任何x 0都有f（x）>0（ 0） ，則稱f（x） 為正定（半正定）二次型。

相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：

令A為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0（≥0）則稱A正定（半正定）矩陣；反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ，都有 ＜0（≤ 0）， 則稱A負定（半負定）矩陣。

例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。

二． 正定矩陣的一些判別方法

由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：

1。n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特徵值全是正數。

證明：若 ， 則有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即

有

這就證明了A正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特徵值全部非負。

2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同於單位矩陣E。

證明：A正定

二次型 正定

A的正慣性指數為n

3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。

證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使

令 則

令 則

反之，

∴A正定。

同理可證A為半正定時的情況。

4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。

證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定

∴ 是正定二次型

現取一組不全為0 的數0，…，0，1，0…0（其中第I個數為1）代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩陣C ，使

5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大於零。

證明：必要性：

設二次型 是正定的

對每個k，k=1，2，…，n，令

，

現證 是一個k元二次型。

∵對任意k個不全為零的實數 ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩陣

是正定矩陣

即

即A的順序主子式全大於零。

充分性：

對n作數學歸納法

當n=1時，

∵ ， 顯然 是正定的。

假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分塊寫成

∵A的順序主子式全大於零

∴ 的順序主子式也全大於零

由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

兩邊取行列式，則

由條件 得a＞0

顯然

即A合同於E ，

∴A是正定的。

三． 負定矩陣的一些判別方法

1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。

2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全小於零。

3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足

，

即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。

由於A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。

四．半正定矩陣的一些判別方法

1． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等於它的秩。

2． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全大於等於零，但至少有一個特徵值等於零。

3． n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大於等於零，但至少有一個主子式等於零。

注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大於等於零並不能保證A是半正定的，例如：

矩陣 的順序主子式 ， ， ，

但A並不是半正定的。

關於半負定也有類似的定理，這裡不再寫出。

參考資料：http：//math。ecnu。edu。cn/jpkc/gdyjj/xsxz/Zhangyan。htm

匿名使用者2017.07.19 回答

因為半正定矩陣的特徵值>=0

半正定矩陣是對稱矩陣 所以可以對角化（定理）

A=P*B*P^-1

|A|=|B|>=0

即證

此夏、若空2008.06.27 回答

首先；你自己要明白什麼叫：半正定矩陣和正定矩陣。

正定矩陣的行列式是恆大於零的，這是書上的定義啊！

半正定矩陣中有正慣性指數和負慣性指數，在用書本上的定義可以做啊