兩條公式定理的證明過程，

海倫公式和婆羅摩笈多定理

口袋兔子耳朵長來自: 口袋老師 2015-06-20

明（1）：與海倫在他的著作“Metrica”（《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則餘弦定理為 cosC = （a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C）=1/2*ab*√［1-（a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2］=1/4*√［4a^2*b^2-（a^2+b^2-c^2）^2］=1/4*√［（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）］=1/4*√［（a+b）^2-c^2］［c^2-（a-b）^2］=1/4*√［（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）］設p=（a+b+c）/2則p=（a+b+c）/2，p-a=（-a+b+c）/2，p-b=（a-b+c）/2，p-c=（a+b-c）/2，上式=√［（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）/16］=√［p（p-a）（p-b）（p-c）］ 所以，三角型ABC面積S=√［p（p-a）（p-b）（p-c）］ 證明（2）：我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家九韶提出了“三斜求積術”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk，p為“隅”，Q為“實”。以△、a，b，c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4［c 2a 2-（c%| 2+a 2-b 2/2） 2］ 當P＝1時，△ 2＝q，S△=√{1/4［c 2a 2-（c 2+a 2-b 2/2） 2］} 因式分解得 1/16［（c+a） 2-b 2］［b62-（c-a） 2］ =1/16（c+a+b）（c+a-b）（b+c-a）（b-c+a） =1/8S（c+a+b-2b）（b+c+a-2a）（b+a+c-2c） =p（p-a）（p-b）（p-c）由此可得：S△=√［p（p-a）（p-b）（p-c）］ 其中p=1/2（a+b+c） 這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。婆羅摩笈多定理說明：若圓內接四邊形的對角線垂直，則從某邊過對角線交點的線將平分對邊。婆羅摩笈多（Brahmagupta）系印度數學家。［編輯］證明\angle AMF = \angle EMC = \angle MBC DM \times BM = AM \times MC （相交弦定理） DM = AM \times MC / BM = AM \tan{\angle MBC}= AM \tan{\angle AMF} \angle AMF + \angle DMF = \angle AMD = \pi / 2 ［AFM］ = AM \times FM \sin{\angle AMF} / 2 ［DFM］ = DM \times FM \sin{\angle DMF} / 2 = AM \tan{\angle AMF} \times FM \cos{\angle AMF} / 2 = AM \times FM \sin{\angle AMF / 2} = ［AFM］ AFM和DFM的面積相等。若兩個三角形面積相同、高度相同，其底的長度亦相同。即AF=FD。