曉曉老師聊民生 2021-10-11

振盪極限不存在，所以二元函式可微，無法推出偏導數連續。

設D是二維空間R2的一個非空子集，稱對映f：D→R為定義在D上的二元函式，通常記為z=f（x，y），（x，y）∈D或z=f（P），P∈D，其中點集D稱為該函式的定義域，x、y稱為自變數，z稱為因變數。

上述定義中，與自變數x、y的一對值（即二元有序實陣列）（x，y）相對應的因變數z的值，也稱為f在點（x，y）處的函式值，記作f（x，y），即z=f（x，y），函式值f（x，y）的全體所構成的集合稱為函式f的值域，記作f（D），即f（D）＝｛z|z=f（x，y），（x，y）∈D}。

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必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任何方式趨於P0（x0，y0）時，f（x，y）都無限接近於A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨於P0（x0，y0）時，即使f（x，y）無限接近於某一確定值。

我們還不能由此斷定函式的極限存在．但是反過來，如果當P（x，y）以不同方式趨於P0（x0，y0）時，f（x，y）趨於不同的值，那麼就可以斷定這函式的極限不存在，關於二元函式的極限運算，有與一元函式類似的運演算法則。

我和你天下第一好fU 2021-10-11

因為偏導數使用一元函式導數定義的，也就是一重極限。而可微和連續都是二重極限定義的。所以這三個的關係挺亂的，並不像一元函式那麼簡單。最重要的是可微的數學意義並不是你所說的光滑。

在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

偏導數注意：

偏導數是曲面上某點在x方向或y方向空間曲線的斜率。可以類比平面上一元函式的微分，偏微分是曲面上某點在x方向或y方向空間曲線的增量。全微分，則不再是沿曲線的增量，而是曲面上某點的增量。可以想象，曲面上過該點作一個切面，而切面的微小增量就是全微分。