帳號已登出 2021-04-01

設旋轉曲面上的動點M（x，y，z）由直線x/2=y=（z-1）/0上的點N（2m，m，1）繞直線l：x=y=z得到的

所以M在過點N與直線l：x=y=z垂直的平面π：x+y+z-3m-1=0①

平面π與l交於P（m+1/3，m+1/3，m+1/3），

MP^2=NP^2，

即［x-（m+1/3）］^2+［y-（m+1/3）］^2+［z-（m+1/3）］^2=（m-1/3）^2+（1/3）^2+（2/3-m）^2

x^2+y^2+z^2-2（m+1/3）（x+y+z）+3（m+1/3）^2=2m^2-2m+2/3

由①，m=（x+y+z-1）/3，代入上式得

x^2+y^2+z^2-（x+y+z）^2/3=2（x+y+z-1）（x+y+z-4）/9+2/3

=（2/9）［（x+y+z）^2-5（x+y+z）+4］+2/3

兩邊都乘以9，得9（x^2+y^2+z^2）-5（x+y+z）^2+10（x+y+z）-14=0

整理得2（x^2+y^2+z^2）-5（xy+yz+zx）+5（x+y+z）-7=0為所求。

擴充套件資料：

在空間，一條曲線Г繞著定直線 l旋轉一週所生成的曲面叫做旋轉曲面，或稱迴轉曲面。曲線Г叫做旋轉曲面的母線，定直線 l 叫做旋轉曲面的旋轉軸，簡稱為軸。母線上任意一點繞旋轉軸旋轉的軌跡是一個圓，稱為旋轉曲面的緯圓或緯線。以旋轉軸為邊界的半平面與旋轉曲面的交線稱為旋轉曲面的經線。

參考資料來源：百度百科-旋轉曲面