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變力做功求解方法歸類例析

王仁俊

恆力做功可用公式Ｗ＝Ｆｓｃｏｓα來求解，但如果是變力做功，即力的大小、方向在做功過程中發生了變化，就很難套用該公式了．那麼，在高中知識的範圍內如何處理有關變力做功的問題呢？下面介紹幾種方法．

？一、用動能定理求解

？動能定理告訴我們，外力對物體所做的功等於物體動能的變化，即Ｗ外＝ΔＥｋ，Ｗ外係指物體受到的所有外力對物體所做功的代數和，ΔＥｋ是物體動能的變化量．

？例1如圖1所示，質量為2ｋｇ的物體從Ａ點沿半徑為Ｒ的粗糙半球內表面以10ｍ／ｓ的速度開始下滑，到達Ｂ點時的速度變為2ｍ／ｓ，求物體從Ａ運動到Ｂ的過程中，摩擦力所做的功是多少？

圖1

？分析物體由Ａ滑到Ｂ的過程中，受重力Ｇ、彈力Ｎ和摩擦力ｆ三個力的作用，因而有ｆ＝μＮ，？Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，即Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．式中μ為動摩擦因素，ｖ為物體在某點的速度．分析上式可知，在物體由Ａ到Ｃ運動的過程中，θ由大到變小，ｃｏｓθ變大，因而Ｎ變大，ｆ也變大．

？在物體由Ｃ到Ｂ運動的過程中，θ由小到變大，ｃｏｓθ變小，因而Ｎ變小，ｆ也變小。

由以上可知，物體由Ａ運動到Ｂ的過程中，摩擦力ｆ是變力，是變力做功問題．

？解根據動能定理有

？Ｗ外＝ΔＥｋ．

？在物體由Ａ運動到Ｂ的過程中，彈力N不做功；重力在物體由Ａ運動到Ｃ的過程中對物體所做的正功與物體從Ｃ運動到Ｂ的過程中對物體所做的負功相等，其代數和為零．因此，物體所受的三個力中摩擦力在物體由Ａ運動到Ｂ的過程中對物體所做的功，就等於物體動能的變化量．則有

？Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，

即Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．式中負號表示摩擦力對物體做負功．可見，如果所研究的物體同時受幾個力的作用，而這幾個力中只有一個力是變力，其餘均為恆力，且這些恆力所做的功和物體動能的變化量容易計算時，此類方法解決問題是行之有效的．

？二、用機械能守恆定律求解

？我們知道，物體只受重力和彈力作用或只有重力和彈力做功時，所研究的系統的機械能守恆．如果重力和彈力中有一個力是變力，這個變力所做的功就可用機械能守恆定律求解．

？例2一條長鏈的長度為ａ，置於足夠高的光滑桌面上，如圖2所示．鏈的下垂部分長度為ｂ，並由靜止開始從桌上滑下，問：當鏈的最後一節離開桌面時，鏈的速度及在這一過程中重力所做的功為多少？

？分析長鏈在下落過程中，下垂部分不斷增長，因此，該部分的質量也在不斷增大，即這部分所受的重力是變力，整個長鏈的運動也是在該變力作用下的運動，是變力做功問題．

圖2

？解取桌面為零勢能面，設整個鏈條質量為ｍ，桌面高度為ｈ，下垂部分質量為ｍ０．則有

？ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，

？開始下滑時鏈條的初動能Ｅｋ1＝0，

？初勢能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），

？機械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．

？設鏈條全部離開桌面的瞬時速度為ｖ，此時鏈條的勢能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，

？動能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，

？機械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，

？根據機械能守恆定律有Ｅ1＝Ｅ2，即

？－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，

解得ｖ＝．

？因此，在這一過程中重力所做的功為

？ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．

？三、用功能原理求解

？機械能守恆定律告訴我們，在只有重力和彈力做功時，系統的機械能守恆．言下之意，如果除重力和彈力之外的其它力對物體也做功，系統的機械能就會發生變化，而且這些力做了多少功，系統就有多少機械能發生轉化，這就是功能原理．如果這些力是變力或只有一個變力做功，而其它力對物體做的功和系統機械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問題．

？例3如圖3所示，一人用定滑輪吊起一個質量為Ｍ的物體，繩子每單位長的質量為ρ，試求人將物體從地面吊起高度為Ｌ的過程中所做的最小功．

圖3

？分析假定物體被勻速吊起，人將物體從地面吊起的過程中，人的拉力可表示為

？Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ，

式中ｘ為豎直方向繩的餘長．當物體上升時，繩的餘長ｘ減小，Ｔ減小，因而Ｔ為變力，故本題屬變力做功問題．

？解設繩的重量全面集中在它的重心上，物體升高高度為Ｌ時，繩的重心上升Ｌ／2，則系統機械能的增量為

？ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2

？＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，

式中ΔＥ1、ΔＥ2分別為物體和繩的機械能增量．

？由功能原理知，人的拉力所做的功為

？Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，

？當ΔＥｋ1＝ΔＥｋ2＝0時，即緩慢提升物體時Ｗ最小，即

？Ｗｍｉｎ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｐ2

？＝ＭｇＬ＋（Ｌ／2）ρＬｇ＝［Ｍ＋（1／2）ρＬ］ｇＬ．

？可見，在涉及重力、彈力之外的變力做功問題時，只要系統的機械能的變化容易求得，用功能原理求解該變力所做的功比較方便．

？四、用公式Ｗ＝Ｐｔ求解

？例4質量為5×105ｋｇ的機車，以恆定功率從靜止開始起動，所受阻力是車重的0．06倍，機車經過5ｍｉｎ速度達到最大值108ｋｍ／ｈ，求機車的功率和機車在這段時間內所做的功．

？分析因機車的功率恆定，當機車從靜止開始達到最大速度的過程中，牽引力不斷減小，當速度達到最大值時，機車所受牽引力達到最小值，與阻力相等．在這段時間內機車所受阻力可認為是恆力，牽引力是變力，因此，機車做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ來求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ來計算．

？解根據題意，機車所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，當機車速度達到最大值時，機車功率為

？Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝ｆｖｍａｘ＝ｋｍｇｖｍａｘ

？＝0．06×5×105×10×（108×103／3600）

？＝9×106Ｗ．

？根據Ｐ＝Ｗｔ，該時間內阻力做功為

？Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ．

？根據動能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牽引力做功

？ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ

？＝（1／2）ｍｖｍａｘ2＋Ｗｆ

？＝（1／2）×5×105×302＋3×104

？＝2．25×108Ｊ．

？五、用圖象法求解

？例5用錘子把鐵釘打入木塊中，設每次打擊錘子時給鐵釘的動能相同，鐵釘進入木塊所受的阻力跟打入的深度成正比．如果釘子第一次被打入木塊的深度為2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要幾次打擊才能將鐵釘打入4ｃｍ深處．

？分析鐵釘進入木塊所受的阻力ｆ跟鐵釘進入木塊的深度ｘ之間的關係為ｆ＝ｋｘ，由此可知，阻力是一個變力．鐵釘得到錘子給予的動能後，克服木塊對它的阻力做功的問題，是一個變力做功的問題．

？解（1）依據題意做出ｆ－ｘ關係圖線如圖4所示．

圖4

？第一次打擊時鐵釘克服阻力所做的功Ｗ1等於圖4中三角形ＡＯＣ的面積的值．

？設第二次打擊時鐵釘被打入的深度為ｘ0，第二次打擊時鐵釘克服阻力所做的功Ｗ2等於圖4中梯形ＡＢＤＣ的面積的值．

？因ｆ＝ｋｘ，由圖可得

？＝2ｋ，＝（2＋ｘ0）ｋ，

則Ｗ1＝（1／2）·＝（1／2）×2ｋ×2＝2ｋ，

？Ｗ2＝（（＋）／2）×＝（（2ｋ＋（2＋ｘ0）ｋ）／2）×ｘ0

？＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，

？因每次打擊時給鐵釘的動能相等，故

？Ｗ1＝Ｗ2，

則2ｋ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，

解得ｘ0＝2（－1）ｃｍ．

？（2）設打擊ｎ次可將鐵釘打入4ｃｍ深處，此時克服阻力做功為Ｗ3，即圖4中三角形ＯＥＦ的面積的值．

？由圖可知，當ｘ＝4ｃｍ時，＝4ｋ，則

？Ｗ3＝（1／2）··

？＝（1／2）×4×4ｋ＝8ｋ．

？每次打擊時克服阻力做功（即給鐵釘的動能）為Ｗ1＝2ｋ，所以

？ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次．

？一個看似複雜的變力做功問題，透過圖象變換，使得解題過程簡單、明瞭．

？六、用平均法求解

？例6將一根水平放置在地面上的長為6ｍ、質量為200ｋｇ的粗細均勻的金屬棒豎立起來，至少要做多少功（設所施加的力始終垂直於棒）？

？分析如圖5所示，用一始終垂直於棒的力將棒的一端勻速提起，由於力的方向和大小時刻在發生變化，因而也不能直接用公式Ｗ＝Ｆｓ來求解，但如果能求出變力Ｆ在棒豎起的過程中的平均值，就可用Ｗ＝ｓ來求解這一變力做功的問題．

圖5

？解如圖5所示，在棒轉動到與地面成θ角時，以Ｂ為轉軸，可列力矩平衡方程

？ＦＬ＝Ｇ（Ｌ／2）ｃｏｓθ，即Ｆ＝（1／2）ｍｇｃｏｓθ，

？由數學知識可知，當θ由0°到90°的變化過程中，Ｆ的平均值為

？＝（2／π）Ｆｍａｘ＝（2／π）·（1／2）ｍｇ＝（1／π）ｍｇ，

？因此，變力Ｆ所做的功為

？Ｗ＝ｓ＝（1／π）ｍｇ·（1／4）（2πＬ）＝（1／2）×200×10×6＝6×103Ｊ．

？變力做功的問題是一教學難點，在上述例項中，從不同的角度、用不同的方法闡述了求解變力做功的問題．在教學中，透過對變力做功問題的歸類討論，有利於提高學生靈活運用所學知識解決實際問題的能力，有利於培養學生的創造性思維，開闊學生解題的思路．