矩陣理論裡的反射變換的定義
- 2022-05-25
要求是標準正交基下的矩陣
實正交矩陣按行列式可分為兩類
對於2階實正交陣,行列式為1的表示旋轉,行列式為-1的表示反射
對於n階的正交陣(對應於高維歐氏空間的正交變換),狹義地講
旋轉變換(也叫平面旋轉變換,或者Givens變換)是有n-2個特徵值為1,餘下兩個特徵值在單位圓周上按λ,1/λ成對出現的正交變換
映象變換(也叫Householder變換)是有n-1個特徵值為1,餘下一個特徵值為-1的正交變換
廣義一點可以把行列式為1的都認為是旋轉(因為是有限個平面旋轉的乘積),行列式為-1的認為是反射(不能表示成有限個平面旋轉的乘積,必須要再作用奇數次映象變換)
方法一:
需要求出平面上任一點(x0,y0)經過反射後的點。
首先求(x0,y0)在直線y=2x上的投影:設投影座標為(x1,y1),則
(1)兩點連線垂直於y=2x,所以斜率等於-1/2,即(y1-y0)/(x1-x0)=-1/2;
(2)點(x1,y1)在y=2x上,所以y1=2x1。
聯立解得x1=(x0+2y0)/5,y1=(2x0+4y0)/5。
所以反射後的點座標為(2x1-x0,2y1-y0)=((-3x0+4y0)/5,(4x0+3y0)/5),得反射矩陣
-3/5 4/5
4/5 3/5
方法二:
反射變換是一個平面上的線性變換,所以只需要求出它在基上的作用。可求得點(1,0)的對稱點為(-3/5,4/5),點(0,1)的對稱點為(4/5,3/5),所以反射矩陣為
-3/5 4/5
4/5 3/5
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