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妖妖小怪書 2016-01-26

1、函式

函式是歷年高考命題的重點，集合、函式的定義域、值域、圖象、奇偶性、單調性、周

期性、最值、反函式以及具體函式的圖象及性質在高考試題中屢見不鮮。因此須注意以下幾點。

（1）集合是近代數學中最基本的概念之一，集合觀點滲透於中學數學內容的各個方面，所以我們應弄懂集合的概念，掌握集合元素的性質，熟練地進行集合的交、並、補運算。同時，應準確地理解以集合形式出現的數學語言和符號。

（2）函式是中學中最重要的內容之一，主要從定義、圖象、性質三方面加以研究。在複習時要全面掌握、透徹理解每一個知識點。為了提高複習質量，我們提出下述幾個問題：

①掌握圖象變換的常用方法（參照南師大第一學期教材圖象變換一節）特別注意：凡變換均在自變數 上進行。

②

求函式的最值是一種重要的題型。要掌握函式最值的求法，特別注意二次函式在定區間上的最值問題以及有些問題可能隱藏範圍，因此範圍問題是二次函式最值的關

鍵。另外二次分式函式的最值亦應引起注意，它的基本解法是“ ”法，當然有一部分可以轉化為函式

的形式，而後與基本不等式相聯絡，或用函式的單調性求解。

③學會解簡單的函式方程，認真對待指數或對數中含引數問題的求解方法，特別注意對數的真數必須“>0”，注意方程求解時的等價性。

2、三角

三角包括兩部分內容：三角函式和兩角和與差的三角函式。三角函式主要考查三角函式的性質、圖象變換、求函式解析式、最小正週期等。 兩角和與差的三角函式中公式較多，應在掌握這些公式的內在聯絡及推導過程的基礎上，理解並熟悉這些公式。特別注意以下幾個問題：

（1）和、差、倍、半形公式都是用單角的三角函式表示復角（和、差、倍、半形）的三角函式。這就決定了這些公式應用的廣泛性，即這些公式可以將三角函式統一成單角的三角函式。

（2）瞭解公式中角的取值範圍，凡使公式中某個三角函式或某個式子失去意義的角，都不適合公式。例如：

（ ）類似還有一些，請自己注意。

（3）半形公式中的無理表示式前面的符號取捨，由公式左端的三角函式中角的範圍決定，半形正切公式的有理表示式中，無需選擇符合，但 與 的符合是一致的。

（4）掌握公式的正用、反用、變形用及在特定條件下用，它可以提高思維起點，縮短思維線路，從而使運算流暢自然。例如：

= ； ；

； 。

（5）三角函式式的化簡與求值，這是中學數學中重要內容之一，並且與解三角形相集合，有的還與複數的三角形式運算相聯絡，因此須注意常用方法和技巧：切割化弦、升降冪、和積互化、“1”的互化、輔助元素法等。

3、不等式

有

關不等式的高考試題分佈極為廣泛，在客觀題中主要考查不等式的性質、簡單不等式的解法以及均值不等式的初步應用。經常以比較大小、求不等式的解集、求函式

的定義域、值域、最值等形式出現。在中檔題中，求解不等式與分類討論相關聯；特別是近幾年來強調考查邏輯推理能力，增加了一個代數推理題，也和不等式的證

明相關聯。在壓軸題中，無論函式題、還是解析幾何題，也往往需要使用不等式的有關知識。在複習中應注意下述幾個問題：

（1）掌握比較大小的常用方法：作差、作商、平方作差、圖象法。

（2）熟練掌握用均值不等式求最值，必須注意三個條件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。

（3）把握解含引數的不等式的注意事項

解含引數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論。如果遇到下述情況則一般需要討論：

①在不等式兩端乘除一個含引數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性。

②在求解過程中，需要使用指數函式、對數函式的單調性時，則需對它們的底數進

行討論。

③當解集的邊界值含引數時，則需對零值的順序進行討論。

4、數列

本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地複習，並在此基礎上，突出解決下述幾個問題：

（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 。

（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容。

（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想。善於使用各種數學思想解答數列題，是我們複習應達到的目標。

①函式思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函式，所以等差等比數列的某些問題可以化為函式問題求解。

②分類討論思想：

用等比數列求和公式應分為 及 ；

已知 求 時，也要進行分類；

計算 時，應分為 時， ， 時， ；

求一般數列的和時還應考慮字母的取值或項數的奇偶性。

④整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整

體思想求解。

（4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決。解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的。特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯。

5、複數

高

考試題中有關複數的題目的內容比較分散，有的是考查複數概念的，有的是考查複數運算的，有的是考查複數幾何意義的。並且每個題目都有一定的綜合性，即使是

一個簡單的客觀題也包括3—4個知識點。從1994年以來複數題主要分佈在客觀題及中檔解答題中。因此，我們應紮紮實實地全面複習基礎知識及基本解題方

法。在複習過程中應注意下述幾個問題：

（1）對複數的有關概念的理解要準確，不能似是而非，否則在解題過程中就會發生錯誤。如：在實數範圍內適用的冪的運演算法則 ，在複數集內不在適用，純虛數的概念等

（2）

要掌握複數的模及輻角主值的最值的求法。求複數的模的最值的常用方法有：把複數化成三角形式，轉求三角函式的最值問題（三角法）；利用複數的代數形式，轉

求代數函式的最值問題（代數法）；利用複數的幾何意義，轉成複平面上的幾何問題（圖象法）；利用 或

求有關複數的輻角或輻角主值的最值的主要方法有幾何法和三角法。

（3）要掌握在複數集中解一元二次方程和二項方程的方法：所有一元二次方程均可用求根公式求方程的根，並且韋達定理也成立，只有實係數一元二次方程可用 判斷方程根的情況，復係數一元二次方程只能利用複數相等的條件化為方程組求解。

（4）由於複數知識與中學數學中許多內容有著密切聯絡，這就提供了複數與實數、複數與三角函式、複數與幾何的雙向轉化的基礎，因此複習複數內容時是培養我們轉化思想的極好機會。

6、立體幾何

（1）“直線和平面”這一章的內容是立體幾何的基礎。在複習時要反覆梳理知識系統，掌握每個概念的本質屬性，理解每個判斷定理和性質定理的前提條件和結論。

（2）在研究線線、線面、面面的位置關係時，主要是研究平行和垂直關係。其研究方法是採取轉化的方法。

（3）

三垂線定理及其逆定理是立體幾何中應用非常廣泛的定理，只要題設條件中有直線和平面垂直時，就往往需要使用三垂線定理及其逆定理。每年高考試題都要考查這

個定理。三垂線定理及其逆定理主要用於證明垂直關係與空間圖形的度量。如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線。

（4）在解答立體幾何的有關問題時，應注意使用轉化的思想：

①利用構造矩形、直角三角形、直角梯形將有關稜柱、稜錐、稜臺的問題轉化成平面圖形去解決。

②利用軸截面將旋轉體的有關問題轉化成平面圖形去解決。

③將空間圖形展開是將立體幾何問題轉化成為平面圖形問題的一種常用方法。

④由於臺體是用一個平行於錐體底面的平面截得的幾何體，因此有些臺體的問題，常常轉化成截得這個臺體的錐體中去解決。

⑤利用割補法把不規則的圖形轉化成規則圖形，把複雜圖形轉化成簡單圖形。

⑥利用三稜錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉化成求三稜錐的高。

（5）立體幾何解答題一般包括“作、證、求”三個步驟，缺一不可，在證明中使用定理時，定理的條件必須寫全，特別是比較明顯的“線在面內”，“兩直線相交”等必須交代清楚。

6、平面解析幾何

有

關直線方程的高考試題可分成兩部分，一部分是獨立成題，多出在客觀題中，並且每年只有一個題，難度屬於基本題。考查內容除了對稱問題，求直線的傾斜角及斜

率外，還出現求直線方程，兩條直線平行或垂直的充要條件等。另一部分是在解析幾何綜合題出現，例如在圓錐曲線中往往涉及到和直線的位置關係，此種情況下一

般都使用直線的斜截式或點斜式。因此，我們在複習時須加強基本概念和基本方法的複習。

（1）注意防止由於“零截距”和“無斜率”造成丟解

（2）要學會變形使用兩點間距離公式 ，當已知直線 的斜率 時，公式變形為 或 ；當已知直線的傾斜角 時，還可以得到 或

（3）靈活使用定比分點公式，可以簡化運算。

（4）會在任何條件下求出直線方程。

（5）注重運用數形結合思想研究平面圖形的性質

高

考試題中的解析幾何的分佈特點是除在客觀題中有4個題目外，就是在解答題中有一個壓軸題。也就是解析幾何沒有中檔題。且解析幾何壓軸題所考查的內容是求軌

跡問題、直線和圓錐曲線的位置關係、關於圓錐曲線的最值問題等。其中最重要的是直線與圓錐曲線的位置關係。在複習過程中要注意下述幾個問題：

（1）在解答有關圓錐曲線問題時，首先要考慮圓錐曲線焦點的位置，對於拋物線還應同時注意開口方向，這是減少或避免錯誤的一個關鍵。

（2）

在考查直線和圓錐曲線的位置關係或兩圓錐曲線的位置關係時，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進行判斷。但對直線與拋物線的對稱軸平行時，直線

與雙曲線的漸近線平行時，不能使用判別式，為避免繁瑣運算並準確判斷特殊情況，可以使用數形結合思想，畫出方程所表示的曲線，透過圖形求解。

（3）求圓錐曲線方程通常使用待定係數法，若能據條件發現符合圓錐曲線定義時，則用定義求圓錐曲線方程非常簡捷。在處理與圓錐曲線的焦點、準線有關問題，也可反用圓錐曲線定義簡化運算或證明過程。

（4）在解與焦點三角形（橢圓、雙曲線上任一點與兩焦點構成的三角形稱為焦點三角形）有關的命題時，一般需使用正餘弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義。

（5）要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理在求弦長、中點弦、定比分點弦、弦對定點張直角等方面的應用。

（6）

求動點軌跡方程是解析幾何的重點內容之一，它是各種知識的綜合運用，具有較大的靈活性，求動點軌跡方程的實質是將“曲線”化成“方程”，將“形”化成

“數”，使我們透過對方程的研究來認識曲線的性質。

求動點軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、幾何法、代入轉移法、引數法、交軌法等，解題時，注意求軌跡的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的範

圍。

（7）引數方程和極座標的內容，請大家熟練掌握公式，後用化歸的思想轉化到普通方程即可求解。