熱愛生活的小斌 2022-01-08

證明如下：

因為函式 f（x） 在閉區間［a，b］ 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1、若 M=m，則函式 f（x） 在閉區間 ［a，b］ 上必為常函式，結論顯然成立。

2、若 M>m，則因為 f（a）=f（b） 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 （a，b） 內某點ξ處取得，從而ξ是f（x）的極值點，又條件 f（x） 在開區間 （a，b） 內可導得，f（x） 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f‘（ξ）=0。

注意羅爾定理要求的條件

如果函式在區間內的某個點不可導，則羅爾定理的結論不一定成立。對於某個a > 0，考慮絕對值函式：f（x）=|x| x取值在［-a，a］。

雖然f（−a） = f（a），但−a和a之間不存在導數為零的點。這是因為，函式雖然是連續的，但它在點x = 0不可導。因此就不存在 f’（ε）=0。