張三講法 2022-08-05

基本理論和公式

排列與元素的順序有關，組合與順序無關．如231與213是兩個排列，2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合．

（一）兩個基本原理是排列和組合的基礎

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法． （2）乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法． 這裡要注意區分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續的，只有將分成的若干個互相聯絡的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理． 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質區別的，因此也將兩個原理區分開來．

（二）排列和排列數

（1）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們如何判斷兩個排列是否相同的方法． （2）排列數公式：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列 當m=n時，為全排列Pnn=n（n－1）（n－2）…3·2·1=n！

（三）組合和組合數

（1）組合：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素併成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合． （2）組合數：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個 這裡要注意排列和組合的區別和聯絡，從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序併成一組”這是有本質區別的．