唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之後從山腳下的A點出發，走到河旁邊的P點飲馬後再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？做法如下：如圖1，從B出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關於河岸的對稱點B′，連線AB′，與河岸線相交於P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發，沿直線走到P，飲馬之後，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．（1）觀察發現再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連線EF，線上段EF上找一點P，使BP+AP最短．作點B關於EF的對稱點，恰好與點C重合，連線AC交EF於一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為______．（2）實踐運用如圖3，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．（3）拓展遷移如圖4，已知拋物線y=ax 2 +bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交於另一點B．①求這條拋物線所對應的函式關係式；②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的座標與△ACM周長最小值．（結果保留根號）

戊簫笛sD 2014-09-19

（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD

∥

BC，且∠BAD=∠D=120°，

∴∠ABC=60°；

在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；

∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°，即△BAC為直角三角形；

在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°-60°=30°，AB=2，所以AC=AB？tan60°=2

3

；

由於B、C關於直線EF對稱，根據閱讀資料可知BP+AP的最小值為線段AC的長，即2

3

．

（2）如圖（2），作點A關於直徑MN的對稱點C，連線BC，則BC與直徑MN的交點為符合條件的點P，BC的長為BP+AP的最小值；

連線OA，則∠AON=2∠AMN=60°；

∵點B是

AN

的中點，

∴∠BON=

1

2

∠AON=30°；

∵A、C關於直徑MN對稱，

∴

CN

=

AN

，則∠CON=∠AON=60°；

∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=

1

2

MN=

1

2

，

在等腰Rt△BOC中，BC=

2

OB=

2

2

；

即：BP+AP的最小值為

2

2

．

（3）①依題意，有：

b

-2a

=1

a-b+c=0

c=-3

，解得

a=1

b=-2

c=-3

∴拋物線的解析式：y=x

2

-2x-3；

②取點C關於拋物線對稱軸x=1的對稱點D，根據拋物線的對稱性，得：D（2，-3）；

連線AD，交拋物線的對稱軸於點M，如圖（3）-②；

設直線AD的解析式為y=kx+b，代入A（-1，0）、D（2，-3），得：

-k+b=0

2k+b=-3

，解得

k=-1

b=-1

∴直線AD：y=-x-1，M（1，-2）；

∴△ACM的周長最小值：l

min

=AC+AD=

10

+3

2

．