黃淮/ty蔚璋 14級 2009-08-20 回答

解析幾何學習方法專題

抓住基礎 數形結合

“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”——我國著名數學家華羅庚

作為學習解析幾何的開始，我們引入了我國著名的數學家華羅庚的一句話，他告訴了我們“數”和“形”各自的特點和不足，從而強調了數形結合的重要性，尤其是在解析幾何的學習過程中，我們始終都要注意運用數形結合的思想和方法。

當然，學習這一部分內容，只是瞭解這種思想也是不夠的，現在，就為大家介紹一下學習解析幾何的方法和需要注意的幾點。

基礎也很重要

幾種圓錐曲線的定義你能說得出嗎？

很多同學對上面的這個問題可能會不屑一顧，但是，你能完整的回答出來嗎？

以橢圓的定義為例，我們引入橢圓的時候，是用了怎樣的定義？之後，我們是不是又給了橢圓一個第二定義呢？橢圓的第二定義又是以什麼為基礎呢？對於所有的圓錐曲線，我們是不是又有一個統一的定義呢？三種重要的圓錐曲線，又各有怎樣的性質，你能說出它們的異同點嗎？

這些問題，你都能回答出來嗎？

★定義不是用來背的

有些同學可能現在就會去翻書，去查定義，會說，回答這些問題還不容易嘛，我背一下不就可以了嗎。可是，我要告訴大家——定義不是用來背的。

可能大家還沒有理解這句話的意思，定義不是要你去死記硬背，而是要你去自己理解，去自己總結。

教材上引入橢圓定義的時候花費了很大的篇幅，可它的本質是什麼？與雙曲線的定義又有怎樣的相同點、不同點？橢圓、雙曲線和拋物線這三個重要的圓錐曲線的統一定義我們又該如何去理解？這些，只有靠你自己總結出來，才能真正成為你自己的東西，在做題的時候，你才能應用自如。看一遍書上的定義，合上課本，想一想，如果讓你來描述，你會怎麼說。當你能夠給別人將這些定義解釋清楚的時候，你就已經很好的理解了這些定義，做題時，你就不會因為忽略了定義中隱含的條件而一籌莫展了。

★比一比 學會總結

這一章我們介紹了三種圓錐曲線，它們有很多的相似之處，當然也有很多的不同，它們之間也有著千絲萬縷的聯絡。學習完之後，自己比較一下，它們的定義、性質都有什麼異同，哪些量是它們共有的，哪些量是某個圓錐曲線所特有的。當你比較完之後，再回過頭來看這一章，你會發現，原來這一章的內容竟然如此的簡單和清晰。

記住，一定要自己去總結哦！！別人給你的東西永遠都是別人的，不是你自己的，只有自己總結過，才能清晰的把握問題的重點。

“數”與“形”緊密聯絡

我們掌握了圓錐曲線的基礎之後，就好比為我們的大廈打下了一個堅實的基礎，現在，我們就可以正式建造我們的摩天大樓了！

★讓“數”直觀

如我們開始引言中所講“數缺形時少直觀”，我們如何讓“數”變得直觀呢？

給你 ，你會說這是一個等式，是一個二元二次方程。

給你 ，你會說這是一個方程組，一個二元一次的方程組。

如果我們把（x，y）看作是平面上的一點，你看到上面的式子又會想到什麼呢？

是不是我們的圓錐曲線的一種？ 和 是不是平面內的兩條直線，而 所決定的（x，y）是不是兩條直線的交點？

可能透過上面的例子，你還看不出讓“數”直觀的重要性。那我們再舉一個例子：已知 ，求 的最小值。如果你不能讓“數”直觀，那麼這是一道非常複雜的計算題。但是，看到這樣的兩個式子，你又能想到怎樣的“形”呢？ 很明顯是一個圓，而我們要求的最小值呢？你能不能想到，它其實是一個兩點距離的平方，要求它的最小，也就是求動點P（x，y）和定點A（3，-3）之間距離的最小，而這裡的x，y需要滿足 ，也就是說點P一定要在這樣的一個圓上，求一定點A（3，-3）到一個圓上點的距離的最小值你又會不會求了呢？透過這樣的轉化，我們把“數”直觀，把一道很複雜的計算問題轉化為了一個非常簡單的幾何問題。

★讓“形”入微

如何將幾何圖形的性質用“數”的形式表示出來，這是我們學習這一部分內容需要解決的另一個重要的問題。

如果告訴你兩條直線垂直，你會想到什麼？如果告訴你兩個圖形只有一個交點，你又會聯想到去用代數關係來表示它嗎？

這只是兩個很簡單的幾何關係，但是你能想到它們所代表的代數關係嗎？兩條直線垂直，實際上是斜率之積為-1，我們現在正在解析幾何的學習過程中，所以同學們這一點很容易想到，但是在綜合題中，涉及的知識點多了，你還能想到嗎？而關於兩個圖形位置關係的問題，我們如果只是用“形”去解釋，根本得不到任何精確的結論，但是與“數”結合，我們發現，兩圖形如果只有一個交點，實際上就是兩圖形的聯立方程只有一個解，根據這一點，我們便可以讓“形”入微，我們就可以得到精確的數量之間的關係了，這實際上是代數中方程的思想在解析幾何中最經典的應用。

雕蟲小技

基礎和思想我們都已經有了，現在再給大家介紹一下具體做題時的技巧，只是雕蟲小技，希望對同學們能夠有所啟發。

對於最令大家頭疼的綜合題，我們往往不能找到一個切入點，不知道從哪兒下手。有人說，多做題，沒錯，各種題型做得多了，自然拿過一道題來就知道應該先做什麼再做什麼。可是對於我們而言，不可能一下子有那麼多的經驗。這時候我們怎麼辦呢？

★知道什麼

我們知道什麼？拿到一道題目，看到題設，我們能知道些什麼，尤其是隱含的內容。題目中不可能直接告訴我們所有的資訊，一定要挖掘出隱含的資訊。知道了這些之後，我們能求出什麼，這個也一定要清楚。

★要求什麼

題目讓我們求什麼？這會兒我們不再看題設，我們從問題本身入手，看題目中讓我們求的是什麼，我們知道了哪些條件就可以得到問題的答案。在這裡一定要注意利用數形結合的思想，其實有些問題轉換一下思考的角度就會變得非常簡單。

★重合！豁然開朗

這時候我們再反過來看我們剛剛從題設中得到的資訊，有沒有發現實際上這些資訊完全可以提供我們解決這個問題所需的所有條件。題目的已知和所求經過我們上面的思考過程變得重合，我們的問題實際上已經解決了。這麼想想，你是不是豁然開朗了？

龍師火帝 9級 2009-08-20 回答

只要記住四個字就可以了

數形結合

冷看人生 11級 2009-08-20 回答

我說說我當年的心得吧。我的數學班主任贈我一句話“解析幾何都是呆板的計算”。解析幾何看起來變幻無窮，但其實來來去去都是那幾條公式，你只要多做題，熟能生巧就會發現其實解析幾何不難的（計算複雜是另一回事）