手機使用者07919 推薦於2016-08-12

因為

lim

x→

0

+

f（x）＝

lim

x→

1

？

f（x）＝？∞

，

故對於

f（

1

2

）

，

存在δ＞0，當x∈（0，δ）∪（1-δ，1）時，f（x）＜

f（

1

2

）

．

因為f（x）（0，1）上連續，

故f（x）在［δ，1-δ］上連續，

從而利用連續函式在閉區間上的最值性質可得，

f（x）在［δ，1-δ］上可以取得最大值，

不妨設f（x）在ξ處取得最大值f（ξ）．

因為x∈（0，δ）∪（1-δ，1）時，f（x）＜

f（

1

2

）

，

故

1

2

∈［δ，1-δ］，

從而f（ξ）≥

f（

1

2

）

．

故f（ξ）即為f（x）在區間（0，1）上的最大值．

磨淑蘭瞿媚 2019-01-24

設limf﹙x﹚＝a

﹙x趨於無窮大﹚

∴任意ε

存在x＞a

當x＞x時

｜f﹙x﹚－a｜＜ε/4

∴對任意x₁、x₂∈﹙x，﹢∞﹚

有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－a｜＋｜f﹙x₂﹚－a｜＜ε/2

由康託定理

f﹙x﹚在［a，x］一致連續

因而存在δ＜x－a

使｜x₁－x₂｜＜δ，x₁，x₂∈［a，x］時

｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2

從而對任意x₁，x₂∈［a，﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ

就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε

∴其一致連續