tzzheng2013-09-10

奇妙的數學問題之一 棋盤上的麥粒問題

棋盤上的麥粒問題

在印度有一個古老的傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發明人——宰相西薩·班·達依爾

。國王問他想要什

麼，他對國王說：“陛下，

請您在這張棋盤的第1個小

格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以後每

一小格都比前一小格

加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上

來自

所有的64格的麥粒

，都賞給您的僕人吧！”國王覺

得這要求太容易滿足了，就

命令給他這些麥粒。當人們把一袋

一袋的麥子搬來開始計數時，國

王才發現：就是把全印度甚至全世

界的麥粒全拿來，也滿足不

了那位宰相的要求。 那麼，宰相

要求得到的麥粒到底有多少呢？總數為：

1 + 2 + 4+

8 + ……… + 2的63次方 =

2的64次方-1

第 第 第 第 第

一 二 三 四 ……64

格 格 格

格 格

= 1844674407370955161

360問答

5（粒）

人們估計，

全世界兩千年也難以生產這麼多

麥子！

與這十分相似的，還

提促討出初掌境攻立

有另一個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟

清議幫制

裡，一塊黃銅板上插著三根寶

石針。印度教的主神梵

天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿

低活演宣擊獲倒夠

好了由大到小的64片金

片，這就是所謂梵

塔。不論白天黑夜，總

有一個僧侶在按照下面的法則移

動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。當所有的

金片都從梵天穿好的那

根針上移到另外一根

針上時，世界就將在一

聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都

將同歸於盡。

不管這個傳說是否可信，如果

考慮一下把64片金片

，由一根針上移到

另一根針上，並且始終保

持上小下大的順序，一共需要移動多少次，那麼，不難發現，不管把哪一片移到另一根針

檢間班半蘇板肉

上，移動的次數都要比移動上面

一片增加一倍。這樣，移動第

1片只需1次，第2片則

色雞

需2次，第3片需4次，第

舊封

64片需2的63次

方次。全部次數為：18446

744073709551615次這和“麥粒問題”的計算結果是完全相同的！ 假如每秒鐘移動一次，共需要多長時間

陸否際爭同審困消

呢？一年大約有3155692

底富利獲職有終山九

6秒，計算表明，移完這

率己議土古眾況段

些金片需要5800多

億年！ 下象棋是同

學們喜愛的事，同學

曲料刑放容酸立完兒胞次

們可否知道，象棋裡充滿著數學問題。“馬能否跳回

逐決盡南福載礎礎孫媽

原位”就是其中的一個問題：

象棋

盤上有一隻馬（如圖1和圖2）

，它跳七步能回到原來的位置

優酸商訴

上嗎？

你不妨試跳跳看。

圖1 圖2

治鬥教令承緊也字維帝

不論你怎麼跳，都回不到

原位，是嗎？這是怎麼回事呢

？座標方法可以幫助你解決這個問題。

我們可在棋盤上建立直角座標系，並設這隻馬所在的位置P的座標為

。那麼，馬跳一步後的位置的座標

應為，這裡的和只

可能是1、-1、2、-

2這四個數中的一個（想一想，為什麼？）。

同樣，跳第二步後，馬

位置的座標應為，這裡

的和也只可能是1、

-1、2、-2。。。

。。。跳七步後，馬位置的座標為

詩時固確模

。如果這時馬又回到原來的位置

，那麼有

由於上式中14個數都只能取1、-1、2、-2，而

且每一次跳的兩個座標之和不能

為2和-2，因此，，

這七個數只能取1、-1、3、-

3。

但是不論怎樣取法

，由於奇數個奇數相加為

奇數，所以這樣取出的七個數的和等於0是不可

能的。所以馬跳七步不可能回

到原來的位置。

通

過上面的分析，我

們還可以知道：不僅七步是不可能

的，只要這隻馬跳步的次

數是奇數，都不能回到原來的位

復毛止宣藝

置，如果這隻馬跳了幾步後回到了原來的位

軍誤回似

置，那麼它跳的步數必定是

濟階危強搞了臉很圖

偶數。