網際超人 2012-04-14

四道分解因式①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2

③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2

四道分式化簡例1 化簡分式：

分析 直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多．

＝［（2a+1） - （a - 3） - （3a+2）+（2a - 2）］

說明 本題的關鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式．

例2 求分式

當a=2時的值．

分析與解 先化簡再求值．直接通分較複雜，注意到平方差公式：

a2 - b2=（a+b）（a - b），

可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項．

例3 若abc=1，求

分析 本題可將分式通分後，再進行化簡求值，但較複雜．下面介紹幾種簡單的解法．

解法1 因為abc=1，所以a，b，c都不為零．

解法2 因為abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

例4 化簡分式：

分析與解 三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然後再化簡．

說明

互消掉的一對相反數，這種化簡的方法叫“拆項相消”法，它是分式化簡中常用的技巧．

例5 化簡計算（式中a，b，c兩兩不相等）：

似的，對於這個分式，顯然分母可以分解因式為（a - b）（a - c），而分子又恰好湊成（a - b）+（a - c），因此有下面的解法．

解

說明 本例也是採取“拆項相消”法，所不同的是利用

例6 已知：x+y+z=3a（a≠0，且x，y，z不全相等），求

分析 本題字母多，分式複雜．若把條件寫成（x - a）+（y - a）+（z - a）=0，那麼題目只與x - a，y - a，z - a有關，為簡化計算，可用換元法求解．

解 令x - a=u，y - a=v，z - a=w，則分式變為

u2+v2+w2+2（uv+vw+wu）=0．

由於x，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所以u2+v2+w2≠0，從而有

說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數，使運算過程簡化．

例7 化簡分式：

適當變形，化簡分式後再計算求值．

（x - 4）2=3，即x2 - 8x+13＝0．

原式分子=（x4 - 8x3+13x2）+（2x3 - 16x2+26x）+（x2 - 8x+13）+10

=x2（x2 - 8x+13）+2x（x2 - 8x+13）+（x2 - 8x+13）+10

=10，

原式分母=（x2 - 8x+13）+2=2，

說明 本例的解法採用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊型別，應用得當會使問題的求解過程大大簡化．

解法1 利用比例的性質解決分式問題．

（1）若a+b+c≠0，由等比定理有

所以

a+b - c=c，a - b+c=b， - a+b+c=a，

於是有

（2）若a+b+c=0，則

a+b= - c，b+c= - a，c+a= - b，

於是有

說明 比例有一系列重要的性質，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便於問題的求解．

解法2 設引數法．令

則

a+b=（k+1）c，①

a+c=（k+1）b，②

b+c=（k+1）a．③

①+②+③有

2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c），

所以 （a+b+c）（k - 1）=0，

故有k=1或 a+b+c=0．

當k=1時，

當a+b+c=0時，

說明 引進一個引數k表示以連比形式出現的已知條件，可使已知條件便於使用．

練習四

1．化簡分式：

2．計算：

3．已知：

（y - z）2+（z - x）2+（x - y）2

=（x+y - 2z）2+（y+z - 2x）2+（z+x - 2y）2，

的值．

分式方程

甲、乙、丙三個數字一次大1，若丙數的倒數的兩倍與乙數的倒數之和與甲數的倒數的三倍相等，求甲、乙、丙

第一道：設甲=x，乙=（x+1），丙=（x+2）

2/（x+2）+1/（x+1）=3/x

2x²+x+x²+2x=x²+3x+2

x²=1

x=1或-1

∵乙的倒數=1/（x+1）

∴x≠-1

∴x=1

一個兩位數的個位上的數為7，若把個位數字與十位數字對調，那麼所得的兩位數與原兩位數的比值為8：3，求原兩位數

第二道

設原兩位數十位上數字為X

（10X+7）/（70+X）=3/8

3（70+X）=8（10X+7）

210+3X=80X+56

77X=154

X=2

所以原兩位數為27

一艘輪船從A港口向B港口行駛，以在本航線航行時的常規速度走完全程的5分之3，此後航速減小了10海里每小時，並以此速度一直行駛到B港口。這樣，本次航行減速後行駛所用的時間和未減速時行駛所用的時間相同。這艘輪船在本航線的常規速度是多少？

第三道艘輪船在本航線的常規速度是x

3/5÷x=（1-3/5）÷（x-10）

3（x-10）=2x

x=30

這艘輪船在本航線的常規速度是30海里每小時

甲乙兩地相距125千米，從甲地到乙地，有人乘車，有人騎腳踏車，腳踏車比汽車早出發4小時，晚到1/2小時，已知騎車的速度與乘車的速度之比為2：5，求腳踏車與汽車的速度各式多少？

設自行才的速度為x千米/小時，則乘車速度為5x/2千米/小時

則乘車所所花時間為：125÷5x/2=50/x

則有方程：125/x-50/x=4。5（根據騎車和乘車的時間差）

解得x=50/3千米/小時

則汽車速度為：5/2*50/3=125/3千米/小時

某車隊計劃t天運送m噸貨物，如果已經運送了其中的n噸，（n小於m）則運完剩下貨物需要的天數t1=__，平均每天運出貨物的噸數a=____

每天運貨物量為：m/t

則運完剩下的貨物需要天數為：（m-n）÷m/t=（m-n）*t/m

a=m/t

輪船順水航行80km所需時間和逆水航行60km所需時間相同，已知水流的速度是3km/h，求輪船在靜水中的速度

設輪船在靜水中速度為x，

則順水速度為：x+3

逆水速度為：x-3

則有：80/（x+3）=60/（x-3）

解方程得：x=21km/h

某點3月份購進一批T恤衫，進價合計是12萬元。因暢銷，商店又於4月份購進一批相同的T恤衫，進價合計是18。75萬元，數量是3月份的1。5倍，但買件進價漲了5元，這兩批T恤衫開始都以180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打8折出售，很快售完，問商店供獲毛利潤（銷售收入減去進價總計）多少元？？

設3月份每件進價為X元，則4月份每件進價為X+5元

所以（12*10000/X）*（3/2）*（X+5）=18。75*10000

得X=120元

且總進衣服 （12*10000/X）*5/2=2500件

總收入=2400*180+100*180*80%=446400元

所以毛利潤=446400-120000-187500=138900元

/2x=2/x+3

x/x+1=2x/3x+3 +1

2/x-1=4/x^2-1

5/x^2+x - 1/x^-x=0

1/2x=2/x+3

對角相乘

4x=x+3

3x=3

x=1

分式方程要檢驗

經檢驗，x=1是方程的解

x/（x+1）=2x/（3x+3）+1

兩邊乘3（x+1）

3x=2x+（3x+3）

3x=5x+3

2x=-3

x=-3/2

分式方程要檢驗

經檢驗，x=-3/2是方程的解

2/x-1=4/x^2-1

兩邊乘（x+1）（x-1）

2（x+1）=4

2x+2=4

2x=2

x=1

分式方程要檢驗

經檢驗，x=1使分母為0，是增根，捨去

所以原方程無解

5/x^2+x - 1/x^2-x=0

兩邊乘x（x+1）（x-1）

5（x-1）-（x+1）=0

5x-5-x-1=0

4x=6

x=3/2

分式方程要檢驗

經檢驗，x=3/2是方程的解

1/2x=2/x+3

對角相乘

4x=x+3

3x=3

x=1

分式方程要檢驗

經檢驗，x=1是方程的解

x/（x+1）=2x/（3x+3）+1

兩邊乘3（x+1）

3x=2x+（3x+3）

3x=5x+3

2x=-3

x=-3/2

分式方程要檢驗

經檢驗，x=-3/2是方程的解

2/x-1=4/x^2-1

兩邊乘（x+1）（x-1）

2（x+1）=4

2x+2=4

2x=2

x=1

分式方程要檢驗

經檢驗，x=1使分母為0，是增根，捨去

所以原方程無解

5/x^2+x - 1/x^2-x=0

兩邊乘x（x+1）（x-1）

5（x-1）-（x+1）=0

5x-5-x-1=0

4x=6

x=3/2

分式方程要檢驗

經檢驗，x=3/2是方程的解

5x/（3x-4）=1/（4-3x）-2

乘3x-4

5x=-1-2（3x-4）=-1-6x+8

11x=7

x=7/11

分式方程要檢驗

經檢驗

x=7/11是方程的解

1/（x+2） + 1/（x+7） = 1/（x+3） + 1/（x+6）

通分

（x+7+x+2）/（x+2）（x+7）=（x+6+x+3）/（x+3）（x+6）

（2x+9）/（x^2-9x+14）-（2x+9）/（x^2+9x+18）=0

（2x+9）［1/（x^2-9x+14）-1/（x^2+9x+18）］=0

因為x^2-9x+14不等於x^2+9x+18

所以1/（x^2-9x+14）-1/（x^2+9x+18）不等於0

所以2x+9=0

x=-9/2

分式方程要檢驗

經檢驗

x=-9/2是方程的解

7/（x^2+x）+1/（x^2-x）=6/（x^2-1）

兩邊同乘x（x+1）（x-1）

7（x-1）+（x+1）=6x

8x-6=6x

2x=6

x=3

分式方程要檢驗

經檢驗，x=3是方程的解

化簡求值。［X-1-（8/X+1）］/［X+3/X+1］ 其中X=3-根號2

［X-1-（8/X+1）］/［（X+3）/（X+1）］

={［（X-1）（X+1）-8］/（X+1）}/［（X+3）/（X+1）］

=（X^2-9）/（X+3）

=（X+3）（X-3）/（X+3）

=X-3

=-根號2

8/（4x^2-1）+（2x+3）/（1-2x）=1

8/（4x^2-1）-（2x+3）/（2x-1）=1

8/（4x^2-1）-（2x+3）（2x+1）/（2x-1）（2x+1）=1

［8-（2x+3）（2x+1）］/（4x^2-1）=1

8-（4x^2+8x+3）=（4x^2-1）

8x^2+8x-6=0

4x^2+4x-3=0

（2x+3）（2x-1）=0

x1=-3/2

x2=1/2

代入檢驗，x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。捨去

所以原方程解：x=-3/2

（x+1）/（x+2）+（x+6）/（x+7）=（x+2）/（x+3）+（x+5）/（x+6）

1-1/（x+2）+1-1/（x+7）=1-1/（x+3）+1-1/（x+6）

-1/（x+2）-1/（x+7）=-1/（x+3）-1/（x+6）

1/（x+2）+1/（x+7）=1/（x+3）+1/（x+6）

1/（x+2）-1/（x+3）=1/（x+6）-1/（x+7）

（x+3-（x+2））/（x+2）（x+3）=（x+7-（x+6））/（x+6）（x+7）

1/（x+2）（x+3）=1/（x+6）（x+7）

（x+2）（x+3）=（x+6）（x+7）

x^2+5x+6=x^2+13x+42

8x=-36

x=-9/2

經檢驗，x=-9/2是方程的根。

（2-x）/（x-3）+1/（3-x）=1

（2-x）/（x-3）-1/（x-3）=1

（2-x-1）/（x-3）=1

1-x=x-3

x=2

分式方程要檢驗

經檢驗，x=2是方程的根