正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)是怎麼證明的?
- 2021-11-05
在三角形的外接圓裡證明會比較方便
例如,用BC邊和經過B的直徑BD,構成的直角三角形DBC可以得到:
2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)
角A=角D
得到:2RsinA=BC
同理:2RsinB=AC,2RsinC=AB
就0k了
證明首先證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
原因S△ABC=a*b*sinC/2=b*c*sinA/2=a*c*sinB/2
兩邊除以abc
即sinA/a=sinB/b=sinC/c
即a/sinA=b/sinB=c/sinC
下面證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如圖,任意三角形ABC,作ABC的外接圓O。 作直徑BD交⊙O於D。 連線DA。 因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠ACB。 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
http://baike。baidu。com/view/147231。htm#2
步驟1。在銳角△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb ch=b·sina ∴a·sinb=b·sina 得到 a/sina=b/sinb 同理,在△abc中, b/sinb=c/sinc
步驟2。證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,作abc的外接圓o。 作直徑bd交⊙o於d。 連線da。 因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度 因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c。 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 類似可證其餘兩個等式。