裂項相消法常見公式
- 2021-11-22
原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]
=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]
=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
這樣才能多項 相消
1/n(n+1)(n+2)=0。5[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
裂項相消
如
an=1/n*(n+1) 這樣an=((n+1)-n)/n*(n+1) =1/n -1/(n+1)
an=1/n*(n+k) k為常數
給分子分母同乘k 即an=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k -n)/(n*(n+k))
=(1/k)*(1/n - 1/(n+k) )
an=1/n*(n+k)(n+2k)
k為常數
給分子分母同乘2k
即an=2k/2k*n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(n+2k - n)/n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(1/n*(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)
往後4項5項的見得就少了
對於其他裂項
如
出現(an+1 - an)/anan+1 也可以考慮將他變成1/an+1 -1/an 然後將1/an看成一個新數列
還有一種就是強行的裂項
an=n*(2^n)
設an=bn+1 - bn 那麼sn=a1+a2+。。。+an=(b2-b1)+(b3-b2)+。。。。(bn+1 - bn )
=bn+1 - bn
觀察an後面有個2^n 那麼可以肯定bn 後面也有2^n
直接設bn=(kn+t)2^n 那麼bn+1 = (k(n+1)+t)2^(n+1)
把2^(n+1)寫成2*2^n 再把2乘進去就是
bn+1 = (2k(n+1)+2t)2^n=(2kn+2k+2t)2^n
an=bn+1 - bn =(2kn+2k+2t -kn - t)2^n=(kn+2k+t)2^n
與an對比得
k=1 2k+t=0 所以t=-2
bn=(n-2)*2^n
sn=bn+1 - b1 =(n-1)2^(n+1)+2
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