喜閔汪又藍 2019-12-15

微分

一元微分

定義

設函式y

=

f（x）在x。的鄰域內有定義，x0及x0

+

Δx在此區間內。如果函式的增量Δy

=

f（x0

+

Δx）

−

f（x0）可表示為

Δy

=

AΔx0

+

o（Δx0）（其中A是不依賴於Δx的常數），而o（Δx0）是比Δx高階的無窮小，那麼稱函式f（x）在點x0是可微的，且AΔx稱作函式在點x0相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy

=

AΔx。

通常把自變數x的增量

Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx

=

Δx。於是函式y

=

f（x）的微分又可記作dy

=

f‘（x）dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此，導數也叫做微商。

幾何意義

設Δx是曲線y

=

f（x）上的點M的在橫座標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱座標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱座標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多（高階無窮小），因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

多元微分

同理，當自變數為多個時，可得出多元微分得定義。