樹下的淚 2013-02-05

多種方法這個要求我估計是達不到了。。。不過一個等價命題是比較好證明的：如果在平面上給出六個（任意三個不共線的）點，只能用紅線和黑線在它們之間連線，證明要不有一個三邊都為紅色的三角形，要不有一個三邊都為黑色的三角形；並且如果只給5個這樣的點（任意三點不共線），可以構造出既沒有三邊都為紅色的三角形，也沒有一個三邊都為黑色的三角形。

考慮其中任意一個點A， 設其餘的點為BCDEF， 那麼根據抽屜原理，AB，AC，AD，AE，AF這五條邊中至少有三條是同一種顏色的。

那麼我們不妨設AB，AC，AD都是紅色的。

1）如果BC，BD，CD這三條都是黑色的，那麼BCD就是一個黑色三角形，滿足要證的條件

2）如果BC，BD，CD這三條中至少有一條紅色，那麼結合AB，AC，AD都是紅色，可以找到一個紅色的三角形。

於是這六個點被紅黑兩種顏色連線的15條線段中，要不有一個三邊都為紅色的三角形，要不有一個三邊都為黑色的三角形。

下面給出5個點的構造。（抱歉我不會上圖，我描述下你自己畫吧，挺容易的。）

假想一個正五邊形，這個正五邊形的五條邊都是紅色的。連出剩下的10條對角線，都用黑色。這樣一來就的確既沒有三邊都為紅色的三角形，也沒有一個三邊都為黑色的三角形。

這就是R（3，3）=6的證明。如果你感興趣的話，可以試試看R（3，4）和R（4，4），都挺有意思的。有什麼我沒有寫明白的地方，請一定追問，我會盡力解答。