1、 談一下愛因斯坦在創立狹義相對論的過程中，哪些具體思維過程和作法是與彭加勒在《科學與假設》第9章“物理學中的假設”有關自然界的統一性和第三種假設（“約定論”）的觀點相契合的。

清風竹來來自自團隊: 樂幫達人&貝貝 2018-12-29

狹義相對論是

巖美錢實至求要耐

由愛因斯坦在洛侖茲和龐加萊等人的工作基礎上創立的時空理論

需書缺育照

，是對牛頓時空觀的拓展和修正。 愛因斯坦以光速不

趙英按邊導還敵記

變原理出發，建立了新的時空觀。進一步，閔科夫斯

基為了狹義相對論提

供了嚴格的數學基礎，從而將該理論納入到帶有閔科夫

師鬥

斯基度量的四維空間之幾何結構中。

1實驗基礎

牛頓力學是狹義相對論在低速情況下的

後以便著會

近似。伽利略變換與電磁

學理論的不自洽。到19

世紀末，以麥克斯韋方程組為核心的經典電磁理論的正確性已被大量實驗所證實，但麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下不具有協變性

。而經典力學中的相對性原理則

要求一切物理規律在伽利略變換下都具有協變性。在

這樣的背景下，才有了狹

義相對論的產生。

2誕生

19世紀末期物理學家開爾文爵士

護

在一次國際會議上講到“物理學大廈已經建成，以後的工作

僅僅是內部的裝修和粉刷”。

但是，他話鋒一轉又說：

“大廈上空還漂浮著兩朵‘烏雲

’，麥克爾遜－莫雷試驗結果和黑體輻

射的紫外災難。”正是為了解決

上述兩問題，物理學發生了一場深

養育弦

刻的革命導致了相對論和量子力學的誕生。

早

下抓密歡得肉唱省

在電動力學麥克斯韋方程建立之日，人們就發現它沒有涉及參照系問題。人們利用經典力學的時空理論討論電動力學方程，發現

在伽利略變換下麥

克斯韋方程及其匯出的方程（如

亥姆霍茲，達朗貝爾等方程

）在不同慣性系下形式不同

，這一現象應當怎樣解釋？經過幾

十年的探索，在1905年終於由愛因斯坦建立了狹義相對論

血

。

狹義相對論公式

3愛因斯

坦

狹義相對論

愛因斯坦意識到伽利略變換實際上是牛頓經

油又員藥集

典時空觀的體現，如果承認“真空光速獨立於參考系”這一

偉能帶殺剛勞武外單幹批

實驗事實為基本原理，可以

裂富銀弦特低

建立起一種新的時空觀（相對論時空觀）。在

煤

這一時空觀下，由相對性原理即可匯出洛倫茲變換

難寧盟鍾宣排客佔如那概

。1905年，愛因斯坦發表論文《論動體的電動力學》，建立狹義相對論，成

械孫非混頻片溶寧

功描述了在亞光速領域宏觀物體的運動。

4對參照系

在麥氏預言電磁波之後，多數科學家就認為電磁波

傳播需要媒質（介質）

。這種介質稱為“

以太”。“以太”應具

有以下基本屬性：

1．充滿宇宙，透明而密度很小（電磁彌散空間，無孔不入）；

2．具有高彈性。能在平衡位置作振動，特別是電磁波

程甚增

一般為橫波，以太應是一種

固體（ G是切變模量ρ是介質

密度）；

3．以太只在牛頓絕對時空中靜止不動，即在特

己會海

殊參照系中靜止。

在以太中靜止

雷侵

的物體為絕對靜止，相對以太運動的物體為絕對運動。引入“以太”後人們認為麥氏方程只對與“以太”固連的絕對參照系成立，那麼可以透過實驗來確定一個慣性系相對以太的絕對速度。一般認為地球不是絕對參照系。可以假定以太與太陽固連，這樣應當在地球上做實驗來確定地球本身相對以太的絕對速度，即地球相對太陽的速度。為此，人們設計了許多精確的實驗（包括愛因斯坦也曾設計過這方面的實驗），其中最著名、最有意義的實驗是邁克爾遜—莫雷實驗（1887年）。

愛因斯坦有機會讀了洛倫茲在1895年發表的論文，他討論並完滿解決了u/c的高次項（u為運動物體的速度，c為光速）。然後愛因斯坦試圖假定洛倫茲電子方程在真空參照系中有效，也應該在運動物體的參照系中有效，去講座菲索實驗。在那時，愛因斯坦堅信，麥克斯韋－洛倫茲的電動力學方程是正確的。進而這些議程在運動物體參照系中有效的假設導致了光速不變的概念。然而這與經典力學中速度相加原理相違背。

為什麼這兩個概念互相矛盾。愛因斯坦為了解釋它，花了差不多一年的時間試圖去修改洛倫茲理論。一個偶然的機會。他在一個朋友的幫助下解決了這一問題。愛因斯坦去問他並交談討論了這個困難問題的各個方面，突然愛因斯坦找到了解決所有的困難的辦法。他說：“我在五週時間裡完成了狹義相對論原理。”

愛因斯坦的理論否定了以太概念，肯定了電磁場是一種獨立的、物質存在的特殊形式，並對空間、時間的概念進行了深刻的分析，從而建立了新的時空關係。

6意義

狹義相對論建立以後，對物理學起到了巨大的推動作用。並且深入到量子力學的範圍，成為研究高速粒子不可缺少的理論，而且取得了豐碩的成果。然而在成功的背後，卻有兩個遺留下的原則性問題沒有解決。第一個是慣性系所引起的困難。拋棄了絕對時空後，慣性系成了無法定義的概念。我們可以說慣性系是慣性定律在其中成立的參考系。慣性定律的實質是一個不受外力的物體保持靜止或勻速直線運動的狀態。然而“不受外力”是什麼意思？只能說，不受外力是指一個物體能在慣性系中靜止或勻速直線運動。這樣，慣性系的定義就陷入了邏輯迴圈，這樣的定義是無用的。

我們總能找到非常近似的慣性系，但宇宙中卻不存在真正的慣性系，整個理論如同建築在沙灘上一般。第二個是萬有引力引起的困難。萬有引力定律與絕對時空緊密相連，必須修正，但將其修改為洛倫茲變換下形勢不變的任何企圖都失敗了，萬有引力無法納入狹義相對論的框架。當時物理界只發現了萬有引力和電磁力兩種力，其中一種就冒出來搗亂，情況當然不會令人滿意。

愛因斯坦只用了幾個星期就建立起了狹義相對論，然而為解決這兩個困難，建立起廣義相對論卻用了整整十年時間。為解決第一個問題，愛因斯坦乾脆取消了慣性系在理論中的特殊地位，把相對性原理推廣到非慣性系。因此第一個問題轉化為非慣性系的時空結構問題。在非慣性系中遇到的第一隻攔路虎就是慣性力。在深入研究了慣性力後，提出了著名的等性原理，發現參考系問題有可能和引力問題一併解決。幾經曲折，愛因斯坦終於建立了完整的廣義相對論。廣義相對論讓所有物理學家大吃一驚，引力遠比想象中的複雜的多。至今為止愛因斯坦的場方程也只得到了為數不多的幾個確定解。它那優美的數學形式至今令物理學家們歎為觀止。就在廣義相對論取得巨大成就的同時，由哥本哈根學派創立並發展的量子力學也取得了重大突破。然而物理學家們很快發現，兩大理論並不相容，至少有一個需要修改。於是引發了那場著名的論戰：愛因斯坦VS哥本哈根學派。

直到現在爭論還沒有停止，只是越來越多的物理學家更傾向量子理論。愛因斯坦為解決這一問題耗費了後半生三十年光陰卻一無所獲。不過他的工作為物理學家們指明瞭方向：建立包含四種作用力的超統一理論。目前學術界公認的最有希望的候選者是超弦理論與超膜理論。

7論點

愛因斯坦發表了狹義相對論的論文《論運動物體的電動力學》。關於狹義相對論的基本原理，他寫道：“下面的考慮是以相對性原理和光速不變原理為依據的，這兩條原理我們規定如下：

1．物理體系的狀態據以變化的定律，同描述這些狀態變化時所參照的座標系究竟是用兩個在互相勻速移動著的座標系中的哪一個並無關係。

2．任何光線在“靜止的”座標系中都是以確定的速度c運動著，不管這道光線是由靜止的還是運動的物體發射出來的。”

其中第一條就是相對性原理，第二條是光速不變性（人為假定的）。

整個狹義相對論就建築在這兩條基本原理上。

原理解釋

物質在相互作用中作永恆的運動，沒有不運動的物質，也沒有無物質的運動，由於物質是在相互聯絡，相互作用中運動的，因此，必須在物質的相互關係中描述運動，而不可能孤立的描述運動。也就是說，運動必須有一個參考物，即必須在某一個參考系下描述運動。

狹義相對論

伽利略曾經指出，運動的船與靜止的船上的運動不可區分，也就是說，當你在封閉的船艙裡，與外界完全隔絕，那麼即使你擁有最發達的頭腦，最先進的儀器，也無從感知你的船是勻速運動，還是靜止。更無從感知速度的大小，因為沒有參考。比如，不知道整個宇宙的整體運動狀態，因為宇宙是封閉的。愛因斯坦將其引用，作為狹義相對論的第一個基本原理：狹義相對性原理。其內容是：慣性系之間完全等價，不可區分。

著名的麥克爾遜——莫雷實驗徹底否定了光的以太學說，得出了光與參考系無關的結論。也就是說，無論你站在地上，還是站在飛奔的火車上，測得的光速都是一樣的。這就是狹義相對論的第二個基本原理，光速不變原理。

由這兩條基本原理可以直接推匯出相對論的座標變換式，速度變換式等所有的狹義相對論內容。比如速度變換，正因為光的這一獨特性質，因此被選為四維時空的唯一標尺。

8實驗

為解決這一矛盾，物理學家提出了“以太假說”，即放棄相對性原理，認為麥克斯韋方程組只對一個絕對參考系（以太）成立。根據這一假說，由麥克斯韋方程組計算得到的真空光速是相對於絕對參考系（以太）的速度；在相對於“以太”運動的參考系中，光速具有不同的數值。

實驗的結果——零結果

但斐索實驗和邁克爾孫－莫雷實驗表明光速與參考系的運動無關。

10座標變換

洛侖茲變換是描述狹義相對論空間中各參考系間關係的變換。它最早由洛侖茲從以太說推出，用以解決經典力學與經典電磁學間的矛盾（即邁克爾孫-莫雷實驗的零結果）。後被愛因斯坦用於狹義相對論。

另一種產生說法：馬赫和休謨的哲學對愛因斯坦影響很大。馬赫認為時間和空間的量度與物質運動有關。時空的觀念是透過經驗形成的。絕對時空無論依據什麼經驗也不能把握。休謨更具體的說：空間和廣延不是別的，而是按一定次序分佈的可見的物件充滿空間。而時間總是由能變化的物件的可覺察的變化而發現的。1905年愛因斯坦指出，邁克爾遜和莫雷實驗實際上說明關於“以太”的整個概念是多餘的，光速是不變的。而牛頓的絕對時空觀念是錯誤的。不存在絕對靜止的參照物，時間測量也是隨參照系不同而不同的。他用光速不變和相對性原理提出了洛侖茲變換。創立了狹義相對論。

狹義相對論是建立在四維時空觀上的一個理論，因此要弄清相對論的內容，要先對相對論的時空觀有個大體瞭解。在數學上有各種多維空間，但目前為止，我們認識的物理世界只是四維，即三維空間加一維時間。

四維時空是構成真實世界的最低維度，我們的世界恰好是四維，至於高維真實空間，我們還無法感知。我說過一個例子，一把尺子在三維空間裡（不含時間）轉動，其長度不變，但旋轉它時，它的各座標值均發生了變化，且座標之間是有聯絡的。四維時空的意義就是時間是第四維座標，它與空間座標是有聯絡的，也就是說時空是統一的，不可分割的整體，它們是一種“此消彼長”的關係。

四維時空不僅限於此，由質能關係知，質量和能量實際是一回事，質量（或能量）並不是獨立的，而是與運動狀態相關的，比如速度越大，質量越大。在四維時空裡，質量（或能量）實際是四維動量的第四維分量，動量是描述物質運動的量，因此質量與運動狀態有關就是理所當然的了。

在四維時空裡，動量和能量實現了統一，稱為能量動量四矢。另外在四維時空裡還定義了四維速度，四維加速度，四維力，電磁場方程組的四維形式等。值得一提的是，電磁場方程組的四維形式更加完美，完全統一了電和磁，電場和磁場用一個統一的電磁場張量來描述。四維時空的物理定律比三維定律要完美的多，這說明我們的世界的確是四維的。可以說至少它比牛頓力學要完美的多。至少由它的完美性，我們不能對它妄加懷疑。

相對論中，時間與空間構成了一個不可分割的整體——四維時空，能量與動量也構成了一個不可分割的整體——四維動量。這說明自然界一些看似毫不相干的量之間可能存在深刻的聯絡。在今後論及廣義相對論時我們還會看到，時空與能量動量四矢之間也存在著深刻的聯絡。

用現代的語言來說，薩爾維阿蒂的大船就是一種所謂慣性參考系。就是說，以不同的勻速運動著而又不忽左忽右擺動的船都是慣性參考系。在一個慣性系中能看到的種種現象，在另一個慣性參考系中必定也能無任何差別地看到。亦即，所有慣性參考系都是平權的、等價的。我們不可能判斷哪個慣性參考系是處於絕對靜止狀態，哪一個又是絕對運動的。

伽利略相對性原理不僅從根本上否定了地靜派對地動說的非難，而且也否定了絕對空間觀念（至少在慣性運動範圍內）。所以，在從經典力學到相對論的過渡中，許多經典力學的觀念都要加以改變，唯獨伽利略相對性原理卻不僅不需要加以任何修正，而且成了狹義相對論的兩條基本原理之一。

11兩條原理

相對性原理

物理體系的狀態據以變化的定律

光速不變性原理

任何光線在“靜止的”座標系中都是以確定的速度c運動著，不管這道光線是由靜止的還是運動的物體發射出來的。”

愛因斯坦的哲學觀念是，自然界應當是和諧而簡單的。的確，他的理論常有一種引人注目的特色：出於簡單而歸於深奧。狹義相對論就是具有這種特色的一個體系。狹義相對論的兩條基本原理似乎是並不難接受的“簡單事實”，然而它們的推論卻根本地改變了牛頓以來物理學的根基。

後面我們將開始這種推論。

12相對論

相對論是20世紀物理學史上最重大的成就之一，它包括狹義相對論和廣義相對論兩個部分，狹義相對論顛覆了從牛頓以來形成的時空概念，提示了時間與空間的統一性和相對性，建立了新的時空觀。廣義相對論把相對原理推廣到非慣性參照系和彎曲空間，從而建立了新的引力理論。在相對論的建立過程中，愛因斯坦起了主要的作用。

提起狹義相對論，很多人馬上就想到鐘錶慢走和尺子縮短現象。許多科學幻想作品用它作題材，描寫一個人坐火箭遨遊太空回來以後，發現自己還很年輕，而孫子已經變成了老頭。其實，鐘錶慢走和尺子縮短只是狹義相對論的幾個結論之一，它是指物體高速運動的時候，運動物體上的時鐘變慢了，尺子變短了。鐘錶慢走和尺子縮短現象就是時間和空間隨物質運動而變化的結果。狹義相對論還有一個質量隨運動速度而增加的結論。實驗中發現，高速運動的電子的質量比靜止的電子的質量大。

狹義相對論最重要的結論是使質量守恆失去了獨立性。它和能量守恆原理融合在一起，質量和能量可以互相轉化。如果物質質量是M，光速是C，它所含有的能量是E，那麼E=MC^2。這個公式只說明質量是M的物體所蘊藏的全部能量，並不等於都可以釋放出來，在核反應中消失的質量就按這個公式轉化成能量釋放出來。按這個公式，1克質量相當於9X10^13焦耳的能量。這個質能轉化和守恆原理就是利用原子能的理論基礎。

在狹義相對論中，雖然出現了用牛頓力學觀點完全不能理解的結論：空間和時間隨物質運動而變化，質量隨運動而變化，質量和能量的相互轉化，但是狹義相對論並不是完全和牛頓力學割裂的，當運動速度遠低於光速的時候，狹義相對論的結論和牛頓力學就不會有什麼區別。

幾十年來的歷史發展證明，狹義相對論大大推動了科學程序，成為現代物理學的基本理論之一。

愛因斯坦認為：當一個物體的運動速度接近於光速時，物體的質量將增加，時鐘會變慢，尺子會變短。

公式為

這裡M是改變後的質量，m是改變前的質量，v是運動的速度，c是光速。

13效應

根據狹義相對性原理，慣性系是完全等價的，因此，在同一個慣性系中，存在統一的時間，稱為同時性。

而相對論證明，在不同的慣性系中，卻沒有統一的同時性，也就是兩個事件（時空點）在一個慣性系內同時，在另一個慣性系內就可能不同時，這就是同時的相對性，在慣性系中，同一物理過程的時間程序是完全相同的，如果用同一物理過程來度量時間，就可在整個慣性系中得到統一的時間。在今後的廣義相對論中可以知道，非慣性系中，時空是不均勻的，也就是說，在同一非慣性系中，沒有統一的時間，因此不能建立統一的同時性。

相對論匯出了不同慣性系之間時間進度的關係，發現運動的慣性系時間進度慢，這就是所謂的鐘慢效應。可以通俗的理解為，運動的鐘比靜止的鐘走得慢，而且，運動速度越快，鍾走的越慢，接近光速時，鍾就幾乎停止了。

尺子的長度就是在一慣性系中“同時”得到的兩個端點的座標值的差。由於“同時”的相對性，不同慣性系中測量的長度也不同。相對論證明，在尺子長度方向上運動的尺子比靜止的尺子短，這就是所謂的尺縮效應，當速度接近光速時，尺子縮成一個點。

由以上陳述可知，鐘慢和尺縮的原理就是時間進度有相對性。也就是說，時間進度與參考系有關。這就從根本上否定了牛頓的絕對時空觀，相對論認為，絕對時間是不存在的，然而時間仍是個客觀量。比如在下期將討論的雙生子理想實驗中，哥哥乘飛船回來後是15歲，弟弟可能已經是45歲了，說明時間是相對的，但哥哥的確是活了15年，弟弟也的確認為自己活了45年，這是與參考系無關的，時間又是“絕對的”。這說明，不論物體運動狀態如何，它本身所經歷的時間是一個客觀量，是絕對的，這稱為固有時。也就是說，無論你以什麼形式運動，你都認為你喝咖啡的速度很正常，你的生活規律都沒有被打亂，但別人可能看到你喝咖啡用了100年，而從放下杯子到壽終正寢只用了一秒鐘。

時鐘佯謬或雙生子佯謬

相對論誕生後，曾經有一個令人極感興趣的疑難問題——-雙生子佯謬。一對雙生子A和B，A在地球上，B乘火箭去做星際旅行，經過漫長歲月返回地球。

愛因斯坦由相對論斷言，二人經歷的時間不同，重逢時B將比A年輕。許多人有疑問，認為A看B在運動，B看A也在運動，為什麼不能是A比B年輕呢？

由於地球可近似為慣性系，B要經歷加速與減速過程，是變加速運動參考系，真正討論起來非常複雜，因此這個愛因斯坦早已討論清楚的問題被許多人誤認為相對論是自相矛盾的理論。如果用時空圖和世界線的概念討論此問題就簡便多了，只是要用到許多數學知識和公式。在此只是用語言來描述一種最簡單的情形。我們的結論是，無論在哪個參考系中，B都比A年輕。

相對論要求物理定律要在座標變換（洛倫茲變化）下保持不變。經典電磁理論可以不加修改而納入相對論框架，而牛頓力學只在伽利略變換中形勢不變，在洛倫茲變換下原本簡潔的形式變得極為複雜。因此經典力學與要進行修改，修改後的力學體系在洛倫茲變換下形勢不變，稱為相對論力學。

14公式推導

單位符號單位符號

座標 m （x，y，z） 力 N F（f）

時間 s t（T） 質量 kg m（M）

位移m r 動量 kg*m/s p（P）

速度 m/s v（u） 能量 J E

加速度 m/s^2 a 衝量 N*s I

長度 m l（L） 動能J Ek

路程 m s（S） 勢能 J Ep

角速度 rad/s ω 力矩 N*m M

角加速度 rad/s^2 α 功率 W P

牛頓力學

1．質點運動學基本公式：（1）v=dr/dt，r=r0+∫vdt

2．a=dv/dt，v=v0+∫adt

（注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式）

當v不變時，（1）表示勻速直線運動。

當a不變時，（2）表示勻變速直線運動。

只要知道質點的運動方程r=r（t），它的一切運動規律就可知了。

2．質點動力學：

1．牛頓第一定律：不受力的物體總是保持靜止或者勻速直線運動狀態，直到有外力迫使它改變這種狀態。

2．牛頓第二定律：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

3．牛頓第三定律：作用力與反作用力等大反向作用在同一直線上。

4．萬有引力定律：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r^2，G=6。67259*10^（-11）m^3/（kg*s^2） G為引力常量 由英國化學家、物理學家卡文迪許測得。

動量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的衝量等於動量的變化）

動量守恆：合外力為零時，系統動量保持不變。

動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等於動能的變化）

機械能守恆：只有重力或彈力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

（注：牛頓力學的核心是牛頓第二定律：F=ma，它是運動學與動力學的橋樑，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r（t），若知受力情況，根據牛頓第二定律可得a，再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r（t），可根據運動學基本公式求a，再由牛頓第二定律可知物體的受力情況。）

狹義相對論力學

（注：γ=1/sqr（1-u^2/c^2），β=u/c，u為慣性系速度。）

1．基本原理：

（1）相對性原理：物理定律在所有慣性系中都具有相同的數學形式。

（2）光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。

（此處先給出公式再給出推導）

2．洛侖茲座標變換（沿X軸方向）：

X=γ（x-ut）

Y=y

Z=z

T=γ（t-ux/c^2）

3．速度變換：

V（x）=（v（x）-u）/（1-v（x）u/c^2）

V（y）=v（y）/（γ（1-v（x）u/c^2））

V（z）=v（z）/（γ（1-v（x）u/c^2））

4．尺縮效應：

△L=△l/γ或dL=dl/γ

5．鐘慢效應：

△t=γ△τ或dt=dτ/γ

6．光的多普勒效應：

ν（a）=sqr（（1-β）/（1+β））ν（b）

（光源與探測器在一條直線上運動。）

7．動量表達式：

P=Mv=γmv，即M=γm

8．相對論力學基本方程：

F=dP/dt

9．質能方程：

E=Mc^2

10．能量動量關係：

E^2=（E0）^2+P^2c^2

（注：在此用兩種方法推導，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。）

追答：

15三維語言

1．由實驗總結出的公理，無法證明。

2．洛侖茲變換：

設（x，y，z，t）所在座標系（A系）靜止，（X，Y，Z，T）所在座標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的座標為XA原點=-uT，即XA原點+uT=0。

可令

x=k（X+uT） （1）。

又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K（x-ut），由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K。

故有

X=k（x-ut） （2）。

對於y，z，Y，Z皆與速度無關，可得

Y=y （3）。 Z=z （4）。

將（2）代入（1）可得：x=k^2（x-ut）+kuT，即

T=kt+（（1-k^2）/（ku））x （5）。

（1）（2）（3）（4）（5）滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光訊號，則對兩系分別有x=ct，X=cT。

代入（1）（2）式得：ct=kT（c+u），cT=kt（c-u）。兩式相乘消去t和T得：

k=1/sqr（1-u^2/c^2）=γ。將γ反代入（2）（5）式得座標變換：

X=γ（x-ut）

Y=y

Z=z

T=γ（t-ux/c^2）

3．速度變換：

V（x）=dX/dT=γ（dx-ut）/（γ（dt-udx/c^2））

=（dx/dt-u）/（1-（dx/dt）u/c^2）

=（v（x）-u）/（1-v（x）u/c^2）

同理可得V（y），V（z）的表示式。

4．尺縮效應：

B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ（x-ut）得：△X=γ（△x-u△t），又△t=0（要同時測量兩端的座標），則△X=γ△x，即：△l=γ△L，△L=△l/γ

5．鐘慢效應：

由座標變換的逆變換可知，t=γ（T+Xu/c^2），故△t=γ（△T+△Xu/c^2），又△X=0，（要在同地測量），故△t=γ△T。

（注：與座標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨座標變換而變的客觀量。）

6．光的多普勒效應：

（注：聲音的多普勒效應是：ν（a）=（（u+v1）/（u-v2））ν（b）。）

B系原點處一光源發出光訊號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν（b），波數為N，B系的鐘測得的時間是△t（b），由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為

△t（a）=γ△t（b） （1）。

探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+（x+v△t（a））/c，則

△t（N）=（1+β）△t（a） （2）。

相對運動不影響光訊號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即

ν（b）△t（b）=ν（a）△t（N） （3）。

由以上三式可得：

ν（a）=sqr（（1-β）/（1+β））ν（b）。

7．動量表達式：

（注：dt=γdτ，此時，γ=1/sqr（1-v^2/c^2）因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c）

牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在座標變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學中，v=dr/dt，r在座標變換下形式不變，（舊座標系中為（x，y，z）新座標系中為（X，Y，Z））只要將分母替換為一個不變數（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv。這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）

8．相對論力學基本方程：

由相對論動量表達式可知：F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變數）

9．質能方程：

Ek=∫Fdr=∫（dp/dt）*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr（1-v^2/c^2）dv=Mv^2+mc^2*sqr（1-v^2/c^2）-mc^2

=Mv^2+Mc^2（1-v^2/c^2）-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

10．能量動量關係：

E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr（1-v^2/c^2），E0=mc^2，可得：E^2=（E0）^2+p^2c^2

16四維語言推導

在四維預言中，最基本的概念是“事件”，由平時的經驗，一個事件可以由相對於另一個事件的一個標記位置的“位矢”和一個標記時間的時間參量四個數（即慣性系下的座標）標記，以一個事件作為標準，取定另一個事件的四個座標，再以這個事件為標準，取定第三個事件的座標，前後兩個座標加起來，就是第三個事件相對於第一個事件的座標，這正是一個線性疊加性，這說明我們經驗中的時空是一個線性空間。我們希望在新的參照系中保留這個性質，因此，洛倫茨變換應該具有“線性性”，因此可以使用線性代數的語言進行研究，將空間座標和時間座標看成是事件的四個向量分量。

由光速不變原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+（icdt）^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，

考察：dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+（icdt）^2 （1）。

對於任意兩時空點的dS一般不為0。設ds^2依賴於座標系，故而是座標變換中速度引數的函式，設在K‘系中，ds’^2=ds‘^2（v），v是K’系相對於K系的速度向量，天然地：ds‘^2（0）=dS^2，’則由時空反演對稱性可知，v反號，ds^2不變，故而ds^2是速度的偶函式。而由物理定律不依賴於具體的座標系，v反號可看作由K‘到K的逆變換。從K到K’再變換回K，應是“恆等變換”。故而ds‘^2（v）=ds’^2（-v）=dS^2，我們由相對性原理出發，證明了我們所需的變換應該是“保間隔長度”的。

（1）式中的形式正是一個向量求模長（也可稱“長度”）的表示式。由線性代數定理，保模長的變換必然是保內積的，保內積的變換必然是一個正交變換，變換矩陣必然是一個正交矩陣，也就是一個滿足：

AA‘=A’A=I

的矩陣，其中‘表示求轉置。

故一般的洛倫茨變換表示式為：

x’=Ax，AA‘=A’A=I

其中，同一事件在K‘系中的座標（即x’，y‘，z’，ict‘）寫成列向量的形式記作x’，K中相應就為x。

可以看出，三維語言中眾所周知的洛倫茨變換

是上式的沿z軸參照系變換特例。而且，上式不僅包括參照系變換，還可包括空間座標系的轉動，應用範圍遠大於通常的洛倫茨變換。

任意一個粒子經歷的各個時空點在四維時空中連成一條曲線，稱作“世界線”。

由於相對論認為粒子的速度不能超過光速，使用四維語言說就是，認為“世界線的任意微小弧長必須是類時或類光間隔”。可以證明，世界線的弧長正比於粒子座標系下的時間（差一個常數c），稱這時間為“固有時間”，記作τ。易看出這個量是參照系不變的，則可以定義該粒子世界線上每一點的：

四維向量：（注：γ=1/sqr（1-v^2/c^2），下式中dt=γdτ）

令r=（x，y，z，ict）則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=（γv，icγ）γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動量：P=mV=（γmv，icγm）=（Mv，icM）

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F為三維力）

四維加速度：ω=/dτ=（γ^4a，γ^4iva/c）

則f=mdV/dτ=mω

則可以證明以上各量都是參照系協變的向量，這是與三維語言相比的一大改進。值得指出的是，相對論的“動量守恆”是針對“四維動量”而言的。