瓦藍2010.01.21 回答

1796年的一天，德國哥廷根大學，一個很有數學天賦的19歲青年吃完晚飯，開始做導師單獨佈置給他的每天例行的三道數學題。 前兩道題在兩個小時內就順利完成了。第三道題寫在另一張小紙條上：要求只用賀規和一把沒有刻度的直尺，畫出一個正17邊形。 他感到非常吃力。時間一分一秒的過去了，第三道題竟毫無進展。這位青年絞盡腦汁，但他發現，自己學過的所有數學知識似乎對解開這道題都沒有任何幫助。 困難反而激起了他的鬥志：我一定要把它做出來！他拿起圓規和直尺，他一邊思索一邊在紙上畫著，嘗試著用一些超常規的思路去尋求答案。 當視窗露出曙光時，青年長舒了一口氣，他終於完成了這道難題。 見到導師時，青年有些內疚和自責。他對導師說：“您給我佈置的第三道題，我竟然做了整整一個通宵，我辜負了您對我的栽培……” 導師接過學生的作業一看，當即驚呆了。他用顫抖的聲音對青年說：“這是你自己做出來的嗎？”青年有些疑惑地看著導師，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一個通宵。” 導師請他坐下，取出圓規和直尺，在書桌上鋪開紙，讓他當著自己的面再做出一個正17邊形。 青年很快做出了一上正17邊形。導師激動地對他說：“你知不知道？你解開了一樁有兩千多年曆史的數學懸案！阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才！” 原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為失誤，才將寫有這道題目的紙條交給了學生。 每當這位青年回憶起這一幕時，總是說：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年曆史的數學難題，我可能永遠也沒有信心將它解出來。” 這位青年就是數學王子高斯。 高斯用代數的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但後來他的墓碑上並沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。 關於正十七邊形的畫法（高斯的思路，本人並非有意剽竊^_^）： 有一個定理在這裡要用到的： 若長為|a|，|b|的線段可以用幾何方法做出來，那麼長為|c|的線段也能用幾何方法做出的， 其中c是方程x^2+ax+b=0的實根。 上面的定理實際上就是在有線段長度|a|和|b|的時候，做出長為sqrt（a^2-4b）的線段。 （這一步，大家會畫吧？） 而要在一個單位圓中做出正十七邊形，主要就是做出長度是cos（2pai/17）的線段。 下面我把當年高斯證明可以做出cos（2pai/17）的證明給出，同時也就給出了具體的做法。 設a=2［cos（2pai/17）+cos（4pai/17）+cos（8pai/17）+cos（16pai/17）］>0 a1=2［cos（6pai/17）+cos（10pai/17）+cos（12pai/17）+cos（14pai/17）］<0 則有a+a1=-1，a*a1=-4，即a，a1是方程x^2+x-4=0的根，所以長為|a|和|a1|的線段可以做出。 令b=2［cos（2pai/17）+cos（8pai/17）］>0 b1=2［cos（4pai/17）+cos（16pai/17）］<0 c=2［cos（6pai/17）+cos（10pai/17）］>0 c1=2［cos（12pai/17）+cos（14pai/17）］<0 則有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 同樣道理，長度是|b|，|b1|，|c|，|c1|的線段都可以做出來的。 再有2cos（2pai/17）+2cos（8pai/17）＝b ［2cos（2pai/17）］*［2cos（8pai/17）］=c 這樣，2cos（2pai/17）是方程x^2-bx+c=0較大的實根， 顯然也可以做出來，並且作圖的方法上面已經給出來了 參考資料有作圖方法，不過是繁體的，要到檢視－編碼－繁體中文的模式下才能看到漢字參考資料： http：//www。vtsh。tc。edu。tw/~jck/dynamic/heptadecagon。htm