一葉而知秋2018.10.09 回答

如果一個 n×n 矩陣的每行，每列及兩條對角線的元素之和都相等，且這些元素都是從1到 n×n 的自然數，這樣的矩陣就稱為 n 階幻方。

三階幻方就是n=3時的幻方，如下面這個矩陣

2 9 4

7 5 3

6 1 8

幻方，在我國也稱縱橫圖，它的神奇特點吸引了無數人對它的痴迷。從我國古代的“河出圖，洛出書，聖人則之”的傳說起，系統研究幻方的第一人，當數我國古代數學家——楊輝。

楊輝，字謙光，錢塘（今杭州）人，我國南宋時期傑出的數學家，與秦九韶、李冶、朱世傑並稱宋元四大數學家，他在我國古代數學史和數學教育史上佔有十分重要的地位。

楊輝對幻方的研究源於一個小故事。當時楊輝是台州的地方官，一次外出巡遊，碰到一孩童擋道，楊輝問明原因方知是一孩童在地I 做一道數學算題，楊輝一聽來了興趣，下轎來到孩童旁問是什麼算題。原來，這個孩童在算一位老先生出的一道趣題：把1到9的數字分行排列，不論豎著加、橫著加，還是斜著加，結果都等於15。

楊輝看到這個算題， 時想起來他在西漢學者戴德編纂的《大戴禮》一書中也

見過。楊輝想到這兒，和孩童一起算了起來，直到午後，兩人終於將算式擺出來了。

後來，楊輝隨孩童來到老先生家裡，與老先生談論起數學問題來。老先生說：“北周的甄彎注《數術記遺》一書中寫過‘九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”’楊輝聽了，這與自己與孩童擺出來的完全一樣。便問老先生：“你可知這個九宮圖是如何造出來的？”老先生說不知

道。

楊輝回到家中，反覆琢磨。一天，他終於發現一條規律，並總結成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：先把l～9九個數依次斜排，再把上l下9兩數對調，左7右3兩數對調，最後把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣三階幻方就填好了。

楊輝研究出三階幻方（也叫絡書或九宮圖）的構造方法後，又系統的研究了四階幻方至十階幻方。在這幾種幻方中，楊輝只給出了三階、四階幻方構造方法的說明，四階以上幻方，楊輝只畫出圖形而未留下作法。但他所畫的五階、六階乃至十階幻方全都準確無誤，可見他已經掌握了高階幻方的構成規律。

Free.2011.01.20 回答

解法：

方法一、口訣法：（適用於所有奇階幻方，3×3，5×5等。）

【小數上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重複便在下格填，出角重複一個樣。】

如下圖：

將上面的3階幻方（九宮格）轉一圈和映象（翻一面）又有7種形式，共8種形式。

方法二：數學法

11、13、15、17、19、21、23、25、27是一組等差陣列，可以構成的三階幻方。

中間的數19填在中心格，其餘的8個數分成兩兩相加等於38的4組【11-27】、【13-25】、【15-23】、【17-21】， 以中心格對稱填入九宮格。

幻和值=3×19=57。或（11+13+15……+27）÷3=171÷3=57

需要注意的是：先填入最小和最大的陣列成的一組【11-27】在任意邊格（上下、左右隨意），不能在角格。因為和最大數27在同一條線的另外2個數相加等於30的只有11+19和13+17。

同9一條線上的角格再填入13、17（左右隨意）。對角線對稱的角格13對應25，17對應21填入。最後填入15和23一組。

方法三：圖表法

1、順序排數；

2、上行向左、下行向右移動一格；（或上行向右、下行向左移動一格）

3、上下行將突出格左右位移補齊表格；

4、左列向上、右列向下移動一格；（或左列向下、右列向上移動一格）

5、左右列將突出格上下位移補齊表格。