shakesheer 2020-07-14

代換的奧義是：取值範圍完全一致。這個題目裡面顯然x可以取一切值，恰好能代換成tan。並不是只有根式才能用代換，只要不太好算的，取值一樣的，都可以用三角代換。

剛剛好遇見你玲 2020-07-14

高數A1裡面有過解釋，可形代

tllau38 2020-07-14

let

x= tanu

dx=（secu）^2 du

∫ x^2 /（1+x^2）^2 dx

=∫ dx/（1+x^2） - ∫ dx /（1+x^2）^2

=arctanx -∫ dx /（1+x^2）^2

=arctanx -∫ （cosu）^2 du

=arctanx - （1/2）∫ （1+cos2u） du

=arctanx - （1/2）［u+ （1/2）sin2u］ + C

=arctanx - （1/2）［ arctanx + x/（1+x^2） ］ + C

=（1/2） ［ arctanx -x/（1+x^2） ］ + C

網友8362f66 2020-07-14

一般都可以有多種解法。本題除換元解法外，亦可用“湊積分”方法求解。詳細過程是，

∵x²=（x²+1）-1，∴x²/（1+x²）²=1/（1+x²）-1/（1+x²）²。而，1/（1+x²）²=［1/（2x）］（2x）/（1+x²）²，

∴原式=∫dx/（1+x²）+∫［1/（2x）］d［1/（1+x²）］=arctanx+［1/（2x）］/（1+x²）+（1/2）∫dx/［x²（1+x²）］。

又，∫dx/［x²（1+x²）］=∫［1/x²-1/（1+x²）］dx=-1/x-arctanx+C，

∴原式=（1/2）arctanx-（1/2）x/（1+x²）+C。

供參考。