兔老大米奇 2019-12-24

向量的張成就是線性張成，指的是一些向量的所有線性組合構成的一個集合（顯然是一個線性空間，其一組基為該向量組的極大無關組）。

線性組合

線性空間X中的一個向量組x1，x2，．．．，xj的一個線性組合（linearcombination）是

具有下列形式的一個向量：

k1x1＋k2x2＋，．．．，＋kjxj；k1，．．．，kj∈K（K是X的域）

向量組張成空間

1、如果任意x∈X都可以表示成X中的向量x1，x2，．．．，xm的線性組合，

則稱x1，x2，．．．，張成（span）整個空間X

下邊是例子：

（1）零向量張成平凡子空間

（2）二維平面上的任意非零向量張成一條直線

2、x1，x2，．．．，xj的所有的線性組合是X的一個子空間（記做A）這個空間稱為由

x1，x2，。。。，xj張成的子空間。這個空間是X中包含x1，。。。，xj的最小的子空間。

下邊給出這個最小性的證明作為本節的結束：

假設空間A不是包含x1，．．．，xj的最小的子空間。

則存在更小的子空間B包含x1，．．．，xj並且存在一個向量a∈A。

且a∉B．由於B是線性子空間。由子空間定義可知x1，．．．，xj的所有線性組合。

仍屬於B．這就與a∉B矛盾（因為a也是x1，．．．，xj的一個線性組合）。

因此可知A是包含x1，．．．，xj的最小的線性子空間。

擴充套件資料

向量的張成子空間的定義：

線性空間X的一個子集Y稱為子空間，如果Y中元素的和與數乘仍屬於Y。

（注意子空間中一定包含零向量，很容易用反證法證明）

下面是子空間的例子：

（1）二維空間中過原點的直線，三維空間中過原點的平面和直線都是子空間．：

很容易想出上圖中的平面和直線上的向量做數乘和加法運算還是平面或者直線上，並且他們都經過原點，因此他們都是R＾3下的子空間．

（2）全體行向量（a1，．．．，an）（aj∈）所構成的集合，

Y是首末分量均是零的全體向量所構成的集合（很容易驗證）

子空間的性質

（1）線性空間X的兩個子集Y和Z的和是全體形如y＋z（y∈Y，z∈Z）的向量所構成的集合．

記做Y＋Z．若Y和Z均為X的線性子空間。則Y＋Z也是。

（2）線性空間X的兩個子集Y和Z的交是所有公共向量所構成的集合，記做Y∩Z．

若Y和Z均為X的線性子空間。則Y∩Z也是。

（3）由線性空間X的零元素所構成的集合｛0｝是X的子空間，叫做平凡子空間（trivialsubspace）。

goaha 推薦於2017-10-04

一般所謂的張成，都是線性張成

只的是一些向量的所有線性組合構成的一個集合（顯然是一個線性空間，其一組基為該向量組的極大無關組）