1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 這麼 怎麼證明 ~！！！！ 知道的 請指教一下~！！謝謝 了 ~！！！！

田祿清昊偉 2019-06-12

1。重心是三角形中線的交點

三角形ABC中BD和CE分別是中線，相交於F

連線DE，因為DE是中位線

所以DF：FB=DE：BC=1：2

即重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

3。設三角形三個頂點為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

平面上任意一點為（x，y）

則該點到三頂點距離平方和為：

（x1-x）^2+（y1-y）^2+（x2-x）^2+（y2-y）^2+（x3-x）^2+（y3-y）^2

=3x^2-2x（x1+x2+x3）+3y^2-2y（y1+y2+y3）+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3（x-1/3*（x1+x2+x3））^2+3（y-1/3（y1+y2+y3））^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3（x1+x2+x3）^2-1/3（y1+y2+y3）^2

顯然當x=（x1+x2+x3）/3，y=（y1+y2+y3）/3（重心座標）時上式取得最小值為

x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3（x1+x2+x3）^2-1/3（y1+y2+y3）^2