1、橢圓面積：

設橢圓方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1，

F1、F2分別是橢圓的左右焦點，P是橢圓上任意一點，PF1和PF2夾角為θ，

在△PF1F2中，根據餘弦定理，

F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ

|PF1|+|PF2|=2a，

|F1F2}=2c，

4c^2=（PF1+PF2）^2-2|PF1||PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ

4c^2=4a^2-2|PF1||PF2|（1+cosθ），

|PF1||PF2|=2（a^2-c^2）/（1+cosθ）

=2b^2/（1+cosθ），

S△PF1F2=（1/2）|PF1||PF2|sinθ

=b^2sinθ/（1+cosθ）

=b^2*（2sinθ/2cosθ/2）/［2（cosθ/2）^2］

=b^2tan（θ/2）。

∴S△PF1F2=b^2tan（θ/2）。

2、雙曲線面積：

設雙曲線方程為：x^2/a^2-y^2/b^2=1，

F1、F2分別是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上任意一點，PF1和PF2夾角為θ，

在△PF1F2中，根據餘弦定理，

F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ，

||PF1|-|PF2||=2a，

|F1F2}=2c，

4c^2=（PF1-PF2）^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ，

4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|（1-cosθ）

|PF1|*|PF2|（1-cosθ）=2（c^2-a^2）=2b^2，

|PF1|*|PF2|=2b^2/（1-cosθ），

S△PF1F2=（1/2）|PF1||PF2|sinθ

=b^2sinθ/（1-cosθ）

=b^2*（2sinθ/2cosθ/2）/［2（sinθ/2）^2］

=b^2*cos（θ/2）/［sin（θ/2）］

=b^2cot（θ/2）。

cos

θθθθ