匿名使用者 1級 2014-02-06 回答

3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的演算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周長的方法

割圓術（cyclotomic method）

所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積並以此求取圓周率的方法。

“割圓術”，則是以“圓內接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”。劉徽形容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣。

即透過圓內接正多邊形細割圓，並使正多邊形的周長無限接近圓面積，進而來求得較為精確的圓周率。

劉徽發明“割圓術”是為求“圓周率”。那麼圓周率究竟是指什麼呢？它其實就是指“圓周長與該圓直徑的比率”。很幸運，這是個不變的“常數”！我們人類藉助它可以進行關於圓和球體的各種計算。如果沒有它，那麼我們對圓和球體等將束手無策。同樣，圓周率數值的“準確性”，也直接關乎到我們有關計算的準確性和精確度。這就是人類為什麼要求圓周率，而且要求得準的原因。

根據“圓周長/圓直徑=圓周率”，那麼圓周長=圓直徑*圓周率=2*半徑*圓周率（這就是我們熟悉的圓周長=2πr的來由）。因此“圓周長公式”根本就不用背的，只要有小學知識，知道“圓周率的含義”，就可自行推導計算。也許大家都知道“圓周率和π”，但它的“含義及作用”往往被忽略，這也就是割圓術的意義所在。

由於“圓周率=圓周長/圓直徑”，其中“直徑”是直的，好測量；難計算精確的是“圓周長”。而透過劉徽的“割圓術”，這個難題解決了。只要認真、耐心地精算出圓周長，就可得出較為精確的“圓周率”了。——眾所周知，在中國祖沖之最終完成了這個工作。

“圜，一中同長也”。意思是說：圓只有一箇中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在我國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關係。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。我國古代數學經典《九章算術》在第一章“方田”章中寫到“半周半徑相乘得積步”，也就是我們現在所熟悉的公式。

為了證明這個公式，我國魏晉時期數學家劉徽於公元263年撰寫《九章算術注》，在這一公式後面寫了一篇1800餘字的註記，這篇註記就是數學史上著名的“割圓術”。

風之鈴音 1級 2014-02-06 回答

“圜，一中同長也”。意思是說：圓只有一箇中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在我國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關係。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。我國古代數學經典《九章算術》在第一章“方田”章中寫到“半周半徑相乘得積步”，也就是我們現在所熟悉的這個公式。為了證明這個公式，我國魏晉時期數學家劉徽於公元263年撰寫《九章算術注》，在這一公式後面寫了一篇1800餘字的註記，這篇註記就是數學史上著名的“割圓術”。

根據劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時，是用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積。應用出入相補原理，將圓內接正十二邊形拼補成一個長方形，借用長方形的面積公式來論證《九章算術》的圓面積公式。劉徽指出，這個長方形是以圓內接正六邊形周長的一半作為長，以圓半徑作為高的長方形，它的面積是圓內接正十二邊形的面積。這種論證“合徑率一而弧周率三也”，即後來常說的“周三徑一”，當然不嚴密。他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。他從圓內接正六邊形開始割圓，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。”也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的“冪”，同時提出了“差冪”的概念。“差冪” 是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段餘徑。以餘徑乘正多邊形的邊長，即2倍的“差冪”，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，“則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。”就是說，餘徑消失了，餘徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。