教育小百科是我 2018-10-12

鄰域的意思也就是一個極限區間，它以一個很小的區間（a-b，a+b）表示為點a的鄰域，有些概念定義的使用範圍只能在這個區間內才能成立。

b你可以看做是個無窮小，我們在求一個點的極限或者是一個函式在某個點是否連續時候，用的都是臨域，從而考察這個點a的左極限和右極限。但實際解題過程中，不用那麼繁瑣的去考察他的臨域，而是在條件成熟時直接帶入了這個點a。

在拓撲學、數學分析和複分析中都有聚點的概念。在拓撲學中設拓撲空間（X，τ），A⊆X，x∈X。若x的每個鄰域都含有A \ {x}中的點，則稱x為A的聚點。

在數學分析中座標平面上具有某種性質的點的集合，稱為平面點集。給定點集E ，對於任意給定的δ〉0 ，點P 的δ去心鄰域內，總有E 中點，則稱為P 是 E的聚點（或叫作極限點）。

聚點可以是E中的點，也可以不屬於E。此聚點要麼是內點，要麼是邊界點。內點是聚點，界點是聚點，孤立點不是聚點。對於有限點集是不存在聚點的。聚點必須相對給定的集合而言，離開了點集E，聚點就沒有意義。

在複分析中點集E，若在複平面上的一點z的任意鄰域都有E的無窮多個點，則稱z為E的聚點。

以聚點為圓心，任意大的半徑大ε>0畫一圓，總有無窮多個點匯聚在該圓內。若聚點是唯一的，則聚點就是極限點。

擴充套件資料：

鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念，是定義拓撲的五套等價公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套領域系，而非簡單定義某個點的鄰域。對映U即是將x對映至x鄰域組成的集合。

U1：若A是x的鄰域，則x屬於A。這是顯然的。

U2：若A和B都是x的鄰域，則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域對於有限交運算封閉。

U3：若A是x的鄰域，則所有包含A的集合都是x的鄰域。

U4：若A是x的鄰域，則存在一個被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有點的鄰域。換言之，若x有一個鄰域，那麼一定可以將其縮小，縮小到它是其中所有點的鄰域。更關鍵的，這樣的鄰域當且僅當它是X中的開集，這也是鄰域公理為何等價於開集公理，從而可以透過它定義X上拓撲的原因。

開鄰域和閉鄰域

若x的鄰域同時是X中的開集，稱其為x的開鄰域；若它同時是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域。

結論

1 拓撲空間X，X的子集A是開集，當且僅當A是其中所有點的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間）。

2 拓撲空間X，X的子集A和A°，A°是A的開核，當且僅當A° = {x | ∃U∈U（x），U⊆A}。

3 拓撲空間X，X的子集A和A’，A’是A的閉包，當且僅當A’ = {x | ∀U∈U（x），U∩A ≠ ∅}

定義

任給

，存在無窮多個

滿足

為複數序列

的一個聚點。

聚點與極限

有的序列可以有多個聚點。例如，實數序列

就有兩個聚點1和-1。當序列的極限存在時，序列的極限是此序列的唯一聚點。

在實數序列

中，數值最大的聚點稱為

的上極限，記作

數值最小的聚點稱為

的下極限，記作

對於上述序列

上極限與下極限的概念在計算級數收斂半徑時常會用到。

集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的物件彙總而成的集體。其中，構成集合的這些物件則稱為該集合的元素  。

例如，全中國人的集合，它的元素就是每一箇中國人。通常用大寫字母如A，B，S，T，。。。表示集合，而用小寫字母如a，b，x，y，。。。表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S，記為y∉S  。

集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。

參考資料：百度百科-聚點 百度百科-鄰域

瘋狂的賢者 2015-09-29

鄰域的意思也就是一個極限區間，它以一個很小的區間（a-b，a+b）表示為點a的鄰域，有些概念定義的使用範圍只能在這個區間內才能成立。

b你可以看做是個無窮小，我們在求一個點的極限或者是一個函式在某個點是否連續時候，用的都是臨域，從而考察這個點a的左極限和右極限。但實際解題過程中，不用那麼繁瑣的去考察他的臨域，而是在條件成熟時直接帶入了這個點a。

在拓撲學、數學分析和複分析中都有聚點的概念。

在拓撲學中設拓撲空間（X，τ），A⊆X，x∈X。若x的每個鄰域都含有A \ {x}中的點，則稱x為A的聚點。

在數學分析中座標平面上具有某種性質的點的集合，稱為平面點集。給定點集E ，對於任意給定的δ〉0 ，點P 的δ去心鄰域內，總有E 中點，則稱為P 是 E的聚點（或叫作極限點）。

聚點可以是E中的點，也可以不屬於E。此聚點要麼是內點，要麼是邊界點。內點是聚點，界點是聚點，孤立點不是聚點。對於有限點集是不存在聚點的。聚點必須相對給定的集合而言，離開了點集E，聚點就沒有意義。

在複分析中點集E，若在複平面上的一點z的任意鄰域都有E的無窮多個點，則稱z為E的聚點。

以聚點為圓心，任意大的半徑大ε>0畫一圓，總有無窮多個點匯聚在該圓內。若聚點是唯一的，則聚點就是極限點。