Stefan1e_Sun2020-08-04

是x＝0。羅爾定理說的是fa＝fb時，a。b之間存在一個ξ使fξ＇＝0。

例如：

看羅爾定理的條件：

1、在閉區間［a，b］上連續。

2、在開區間（a，b）上可導。

3、在區間的端點處的函式值相等，即f（a）＝f（b）。

提供的f（x）=1-3√x^2在（－1，1）上是連續的，滿足第一個條件，但是，在x=0這個點不可導，因為它的左導數不等於右導數，√x^2就如同f（x）＝｜x|的證明一樣，在0點處不可導，所以，它在整個（－1，1）區間上不滿足羅爾定理。

證明過程：

證明：因為函式 f（x） 在閉區間［a，b］ 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1。 若 M=m，則函式 f（x） 在閉區間 ［a，b］ 上必為常函式，結論顯然成立。

2。 若 M>m，則因為 f（a）=f（b） 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 （a，b） 內某點ξ處取得，從而ξ是f（x）的極值點，又條件 f（x） 在開區間 （a，b） 內可導得，f（x） 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f‘（ξ）=0。

另證：若 M>m ，不妨設f（ξ）=M，ξ∈（a，b），由可導條件知，f’（ξ+）<=0，f‘（ξ-）>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。