匿名使用者 1級 2008-12-03 回答

根據導數的定義：

f‘（z）=lim（△z→0）（f（z+△z）-f（z））/（△z）=lim（△z→0）（（x+△x）²-（y+△y）i-x²+yi）/（△x+△yi）=lim（△z→0）（△x²+2x△x-△yi）/（△x+△yi）

當x=-1/2時，原式=lim（△z→0）（△x²-△x-△yi）/（△x+△yi）

將△z=△x+△yi，因此△x=（△z+△z*）/2，帶入原式得：

f’（z）=-1

當x≠-1/2時，若z+△z沿著平行於x軸的直線趨向於z，則△y=0，因此原式=2x，不是定值，因此極限不存在。

因此函式f（z）=x²-iy在直線x=-1/2上可導，在複平面內處處不解析。

用這種方法可以直接判斷出可導點的導數值，但是判斷起來要比利用C—R方程要複雜得多。

對於複變函式在某點連續、解析、可導的關係如下：

f（z）在z0解析→f（z）在z0連續

↓

f（z）在z0可導→f（z）在z0連續

所有箭頭方向都不可逆

而若是在區域D內則

f（z）在D內解析→f（z）在z0解析 （z0在D內）

↑↓

f（z）在D得可導→f（z）在z0可導

沒有刺的刺蝟 1級 2008-12-04 回答

根據v的表示式得到其對y的偏導數為

vy=-2；

根據柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；

上式對x積分，得到u=-2x+c（y）。

上式對y求導，得到uy=c‘（y）；

另外，根據v的表示式，對x的偏導數為

vx=4x+1，

根據柯西-黎曼方程有uy=-vx，即

c’（y）=4x+1。

這顯然不可能成立。所以不存在這樣的解析函式f，使得f=u+iv（其中u是實函式）。

其實單獨從v的表示式來看，其對x的二階偏導數為4，對y的二階偏導數為0，兩者之和不等於0，所以v 不是調和函式，因此v不可能是某個解析函式的虛部或者實部。