＂Ｈｅｈｅ．3級2011-10-13 回答

極限我認為比較簡單你可以看看書。公式，你看看兩個重要的極限哪塊總考

連續那一般是大題左連續等於右連續。

定積分與不定積分的公式要背好

還有求導的公式

洛必達法則 洛必達法則（L‘Hospital法則），是在一定條件下透過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。

設

（1）當x→a時，函式f（x）及F（x）都趨於零；

（2）在點a的去心鄰域內，f’（x）及F‘（x）都存在且F’（x）≠0；

（3）當x→a時lim f‘（x）/F’（x）存在（或為無窮大），那麼

x→a時 lim f（x）/F（x）=lim f‘（x）/F’（x）。

再設

（1）當x→∞時，函式f（x）及F（x）都趨於零；

（2）當|x|>N時f‘（x）及F’（x）都存在，且F‘（x）≠0；

（3）當x→∞時lim f’（x）/F‘（x）存在（或為無窮大），那麼

x→∞時 lim f（x）/F（x）=lim f’（x）/F‘（x）。

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型未定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

②若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。

③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等。 泰勒公式（Taylor’s formula）

泰勒中值定理：若函式f（x）在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x。）多項式和一個餘項的和：

f（x）=f（x。）+f‘（x。）（x-x。）+f’‘（x。）/2！*（x-x。）^2，+f’‘’（x。）/3！*（x-x。）^3+……+f（n）（x。）/n！*（x-x。）^n+Rn

其中Rn=f（n+1）（ξ）/（n+1）！*（x-x。）^（n+1），這裡ξ在x和x。之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

（注：f（n）（x。）是f（x。）的n階導數，不是f（n）與x。的相乘。）

證明 我們知道f（x）=f（x。）+f‘（x。）（x-x。）+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limΔx→0 f（x。+Δx）-f（x。）=f’（x。）Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x。的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

P（x）=A0+A1（x-x。）+A2（x-x。）^2+……+An（x-x。）^n

來近似地表示函式f（x）且要寫出其誤差f（x）-P（x）的具體表達式。設函式P（x）滿足 P（x。）=f（x。），P‘（x。）=f’（x。），P‘’（x。）=f‘’（x。），……，P（n）（x。）=f（n）（x。），於是可以依次求出 A0、A1、A2、……、An。顯然，P（x。）=A0，所以 A0=f（x。）；P‘（x。）=A1，A1=f’（x。）；P‘’（x。）=2！A2，A2=f‘’（x。）/2！……P（n） （x。）=n！An，An=f（n）（x。）/n！。至此，多項的各項係數都已求出，得：P（x）=f（x。）+f‘（x。）（x- x。）+f’‘（x。）/2！？（x-x。）^2+……+f（n）（x。）/n！？（x-x。）^n。

接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn（x）=f（x）-P（x），於是有Rn（x。）=f（x。）-P（x。）=0。所以可以得出Rn（x。）=Rn’（x。）=Rn‘’（x。）=……=Rn（n）（x。）=0。根據柯西中值定理可得Rn（x）/（x-x。）^（n+1）=（Rn（x）-Rn（x。））/（（x-x。）^（n+1）-0）=Rn‘（ξ1）/（n+1）（ξ1- x。）^n（注：（x。-x。）^（n+1）=0），這裡ξ1在x和x。之間；繼續使用柯西中值定理得（Rn’（ξ1）-Rn‘（x。））/（（n+1） （ξ1-x。）^n-0）=Rn’‘（ξ2）/n（n+1）（ξ2-x。）^（n-1）這裡ξ2在ξ1與x。之間；連續使用n+1次後得出Rn（x） /（x-x。）^（n+1）=Rn（n+1）（ξ）/（n+1）！，這裡ξ在x。和x之間。但Rn（n+1）（x）=f（n+1）（x）-P（n+1） （x），由於P（n）（x）=n！An，n！An是一個常數，故P（n+1）（x）=0，於是得Rn（n+1）（x）=f（n+1）（x）。綜上可得，餘項Rn（x）=f（n+1）（ξ）/（n+1）！？（x-x。）^（n+1）。一般來說展開函式時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把 Rn（x）寫為Rn。 麥克勞林展開式 ：若函式f（x）在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和：

f（x）=f（0）+f’（0）x+f‘’（0）/2！？x^2，+f‘’‘（0）/3！？x^3+……+f（n）（0）/n！？x^n+Rn

其中Rn=f（n+1）（θx）/（n+1）！？x^（n+1），這裡0<θ<1。

證明：如果我們要用一個多項式P（x）=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函式f（x）且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x。=0時的特殊形式：

f（x）=f（0）+f’（0）x+f‘’（0）/2！？x^2，+f‘’‘（0）/3！？x^3+……+f（n）（0）/n！？x^n+f（n+1）（ξ）/（n+1）！？x^（n+1）

由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。 麥克勞林展開式的應用 ：

1、展開三角函式y=sinx和y=cosx。

解：根據導數表得：f（x）=sinx ， f’（x）=cosx ， f‘’（x）=-sinx ， f‘’‘（x）=-cosx ， f（4）（x）=sinx……

於是得出了週期規律。分別算出f（0）=0，f’（0）=1， f‘’（x）=0， f‘’‘（0）=-1， f（4）=0……

最後可得：sinx=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！+x^9/9！-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。）

類似地，可以展開y=cosx。

2、計算近似值e=lim x→∞ （1+1/x）^x。

解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林展開式並捨棄餘項：

e^x≈1+x+x^2/2！+x^3/3！+……+x^n/n！

當x=1時，e≈1+1+1/2！+1/3！+……+1/n！

取n=10，即可算出近似值e≈2。7182818。

3、尤拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位）

證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx，sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。有興趣的話可自行證明一下。

泰勒展開式原理 e的發現始於微分，當 h 逐漸接近零時，計算 之值，其結果無限接近一定值 2。71828。。。，這個定值就是 e，最早發現此值的人是瑞士著名數學家尤拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數。

計算對數函式 的導數，得 ，當 a=e 時， 的導數為 ，因而有理由使用以 e 為底的對數，這叫作自然對數。

若將指數函式 ex 作泰勒展開，則得

以 x=1 代入上式得

此級數收斂迅速，e 近似到小數點後 40 位的數值是

將指數函式 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時，由

透過這個級數的計算，可得

由此，De Moivre 定理，三角函式的和差角公式等等都可以輕易地匯出。譬如說，z1=x1+y1i， z2=x2+y2i，

另方面，

所以，

我們不僅可以證明 e 是無理數，而且它還是個超越數，即它不是任何一個整係數多項式的根，這個結果是 Hermite 在1873年得到的。

甲）差分。

考慮一個離散函式（即數列） R，它在 n 所取的值 u（n） 記成 un，通常我們就把這個函式書成 或 （un）。數列 u 的差分 還是一個數列，它在 n 所取的值以定義為

以後我們乾脆就把 簡記為

（例）：數列 1， 4， 8， 7， 6， -2， 。。。 的差分數列為 3， 4， -1， -1， -8 。。。

注：我們說「數列」是「定義在離散點上的函式」如果在高中，這樣的說法就很惡劣。但在此地，卻很恰當，因為這樣才跟連續型的函式具有完全平行的類推。

差分運算元的性質

（i） ［合稱線性］

（ii） （常數） ［差分方程根本定理］

（iii）

其中 ，而 （n（k） 叫做排列數列。

（iv） 叫做自然等比數列。

（iv）’ 一般的指數數列（幾何數列）rn 之差分數列（即「導函式」）為 rn（r-1）

（乙）。和分

給一個數列 （un）。和分的問題就是要算和 。 怎麼算呢 我們有下面重要的結果：

定理1 （差和分根本定理） 如果我們能夠找到一個數列 （vn），使得 ，則

和分也具有線性的性質：

甲）微分

給一個函式 f，若牛頓商（或差分商） 的極限 存在，則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數，記為 f‘（x0） 或 Df（x），亦即

若 f 在定義區域上每一點導數都存在，則稱 f 為可導微函式。我們稱 為 f 的導函式，而 叫做微分運算元。

微分運算元的性質：

（i） ［合稱線性］

（ii） （常數） ［差分方程根本定理］

（iii） Dxn=nxn-1

（iv） Dex=ex

（iv）’ 一般的指數數列 ax 之導函式為

（乙）積分。

設 f 為定義在 ［a，b］ 上的函式，積分的問題就是要算陰影的面積。我們的辦法是對 ［a，b］ 作分割：

；其次對每一小段 ［xi-1，xi］ 取一個樣本點 ；再求近似和 ；最後再取極限 （讓每一小段的長度都趨近於 0）。

若這個極限值存在，我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積。

（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件。）

積分運算元也具有線性的性質：

定理2 若 f 為一連續函式，則 存在。（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件。）

定理3 （微積分根本定理） 設 f 為定義在閉區間 ［a，b］ 上的連續函式，我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函式 g，使得 g‘=f，則

注：（1）（2）兩式雖是類推，但有一點點差異，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分，微分與積分，是兩個互逆的操作，就好像加法與減法，乘法與除法是互逆的操作一樣。

我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了，而上面定理1及定理3告訴我們，要計算 （un） 的和分及 f 的積分，只要去找另一個 （vn） 及 g 滿足 ， g’=f （這是差分及微分的問題），那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了。換句話說，我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作，這就是“以簡御繁”的精神。牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此。

甲）Taylor展開公式

這分別有離散與連續的類推。它是數學中「逼近」這個重要想法的一個特例。逼近想法的意思是這樣的：給一個函式 f，我們要研究 f 的行為，但 f 本身可能很複雜而不易對付，於是我們就想法子去找一個較「簡單」的函式 g，使其跟 f 很「靠近」，那麼我們就用 g 來取代 f。這又是以簡御繁的精神表現。由上述我們看出，要使用逼近想法，我們還需要澄清

兩個問題：即如何選取簡單函式及逼近的尺度。

（一） 對於連續世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是選取多項函式作為簡單函式，並且用區域性的「切近」作為逼近尺度。說得更明白一點，給一個直到到 n 階都可導微的函式 f，我們要找一個 n 次多項函式 g，使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」，即 ，答案就是

此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式。

g 在 x0 點附近跟 f 很靠近，於是我們就用 g 區域性地來取代 f。從而用 g 來求得 f 的一些區域性的定性行為。因此 Taylor 展式只是區域性的逼近。當f是足夠好的一個函式，即是所謂解析的函式時，則 f可展成 Taylor 級數，而且這個 Taylor 級數就等於 f 自身。

值得注意的是，一階 Taylor 展式的特殊情形，此時 g（x）=f（x0）+f‘（x0）（x-x0） 的圖形正好是一條透過點 （x0，f（x0）） 而且切於 f 的圖形之直線。因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是，我們用過點 （x0，f（x0）） 的切線區域性地來取代原來 f 曲線。這種區域性化「用平直取代彎曲」的精神，是微分學的精義所在。

利用 Taylor 展式，可以幫忙我們做很多事情，比如判別函式的極大值與極小值，求積分的近似值，作函式表（如三角函式表，對數表等），這些都是意料中事。事實上，我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」。

複次我們注意到，我們選取多項函式作為逼近的簡單函式，理由很簡單：在眾多初等函式中，如三角函式，指數函式，對數函式，多項函式等，從算術的觀點來看，以多項函式最為簡單，因為要計算多項函式的值，只牽涉到加減乘除四則運算，其它函式就沒有這麼簡單。

當然，從別的解析觀點來看，在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函式。例如，三角多項式，再配合上某種逼近尺度，我們就得到 Fourier 級數展開，這在應用數學上佔有舉足輕重的地位。（事實上，Fourier 級數展開是採用最小方差的逼近尺度，這在高等數學中經常出現，而且在統計學中也有應用。）

注：取 x0=0 的特例，此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式。不過只要會做特例的展開，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移（或變數代換）就好了。因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式。

（二） 對於離散的情形，Taylor 展開就是：

給一個數列 ，我們要找一個 n 次多項式數列 （gt），使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」。所謂在 0 點具有 n 階差近是指：

答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式。

乙）分部積分公式與Abel分部和分公式的類推

（一） 分部積分公式：

設 u（x），v（x） 在 ［a，b］ 上連續，則

（二） Abel分部和分公式：

設（un），（v）為兩個數列，令 sn=u1+……+un，則

上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D（uv）=（Du）v+u（Dv），及萊布尼慈差分公式 的結論。注意到，這兩個萊布尼慈公式，一個很對稱，另一個則不然。

（丁）複利與連續複利 （這也分別是離散與連續之間的類推）

（一） 複利的問題是這樣的：有本金 y0，年利率 r，每年複利一次，要問 n 年後的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn（1+r）

根據（丙）之（二）得知 yn=y0（1+r）n 這就是複利的公式。

（二） 若考慮每年複利 m 次，則 t 年後的本利和應為

令 ，就得到連續複利的概念，此時本利和為y（t）=y0ert

換句話說，連續複利時，t 時刻的本利和 y（t）=y0ert 就是微分方程 y’=ry 的解答。

由上述我們看出離散複利問題由差分方程來描述，而連續複利的問題由微分方程來描述。對於常係數線性的差分方程及微分方程，解方程式的整個要點就是疊合原理，因此求解的辦法具有完全平行的類推。

（戊）Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理（也是離散與連續之間的類推）

（一） Fubini 重和分定理：給一個兩重指標的數列 （ars），我們要從 r=1 到 m，s=1到 n， 對 （ars） 作和 ，則這個和可以這樣求得：光對 r 作和再對 s 作和（反過來亦然）。亦即我們有

（二）Fubini 重積分定理：設 f（x，y） 為定義在 上之可積分函式，則

當然，變數再多幾個也都一樣。

（己）Lebesgue 積分的概念

（一） 離散的情形：給一個數列 （an），我們要估計和 ，Lebesgue 的想法是，不管這堆資料指標的順序，我們只按數值的大小來分堆，相同的分在一堆，再從每一堆中取一個數值，乘以該堆的個數，整個作和起來，這就得到總和。

（二）連續的情形：給一個函式 f，我們要定義曲線 y=f（x） 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積。

Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割：

函式值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊，令其為 ， 於是 ［a，b］ 就相應分割成 ，取樣本點 ，作近似和

讓影域的分割加細，上述近似和的極限若存在的話，就叫做 f 在 ［a，b］ 上的 Lebesgue 積分。 餘項 泰勒公式的餘項f（x）=f（a） + f‘（a）（x-a）/1！ + f’‘（a）（x-a）^2/2！ + …… + f（n）（a）（x-a）^n/n！ + Rn（x） ［其中f（n）是f的n階導數］

泰勒餘項可以寫成以下幾種不同的形式：

1。佩亞諾（Peano）餘項：

Rn（x） = o（（x-a）^n）

2。施勒米爾希-羅什（Schlomilch-Roche）餘項：

Rn（x） = f（n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^（n+1-p）（x-a）^（n+1）/（n！p）

［f（n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0，1）］

3。拉格朗日（Lagrange）餘項：

Rn（x） = f（n+1）（a+θ（x-a））（x-a）^（n+1）/（n+1）！

［f（n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0，1）］

4。柯西（Cauchy）餘項：

Rn（x） = f（n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^n （x-a）^（n+1）/n！

［f（n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0，1）］

5。積分餘項：

Rn（x） = ［f（n+1）（t）（x-t）^n在a到x上的積分］/n！

［f（n+1）是f的n+1階導數］

也叫Cauchy中值定理。

設函式f（x），g（x）滿足是在［a，b］連續，（a、b）可導，g’（x）≠0（x∈（a，b））

則至少存在一點，ξ∈（a，b），使f‘（ξ）/g’（ξ）=［f（a）-f（b）］/［g（a）-g（b）］成立

幾何意義 若令u=f（x），v=g（x），這個形式可理解為引數方程，而［f（a）-f（b）］/［g（a）-g（b）］則是連線引數曲線的端點斜率，f‘（ξ）/g’（ξ）表示曲線上某點處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用引數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦，這一點Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用 y=f（x）表示的曲線，還適用於引數方程表示的曲線。

當柯西中值定理中的g（x）=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

證明 令F（x）=f（x）-［f（a）-f（b）］g（x）/［g（a）-g（b）］

∵F（a）=F（b）=［f（a）g（b）-f（b）g（a）］/［g（b）-g（a）］

由羅爾定理知：存在ξ∈（a，b），使得F‘（ξ）=0。

又知F’（x）=f‘（x）-［f（a）-f（b）］g’（x）/［g（a）-g（b）］

故f‘（ξ）-［f（a）-f（b）］g’（ξ）/［g（a）-g（b）］=0

即f‘（ξ）/g’（ξ）=［f（a）-f（b）］/［g（a）-g（b）］

命題得證。

羅爾定理 羅爾定理說明圖片

如果函式f（x）滿足：

在閉區間［a，b］上連續；

在開區間（a，b）內可導；

其中a不等於b；

在區間端點處的函式值相等，即f（a）=f（b），

那麼在區間（a，b）內至少存在一點ξ（a<ξ

羅爾定理的三個已知條件的直觀意義是：f（x）在［a，b］上連續表明曲線連同端點在內是無縫隙的曲線；f（x）在內（a，b）可導表明曲線 y=f（x）在每一點處有切線存在；f（a）=f（b）表明曲線的割線（直線AB）平行於x軸。羅爾定理的結論的直觀意義是：在（a，b）內至少能找到一點ξ，使f’（ξ）=0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行於割線AB，也就平行於x軸。

祝你好運

BenDy、11級2011-10-14 回答

初等函式都是連續的